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高一数学集合与函数知识点总结
高中数学集合与函数专题
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高中数学集合与函数专题
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高中课程复****专题——数学集合与函数专题
一、集合相关概念
1、集合中元素的特性
⑴元素的确定性:组成集合的元素必须是确定的。
⑵元素的互异性:集合中不得有重复的元素。
⑶元素的无序性:集合中元素的排列不遵循某种顺序,是随意排列的。
2、集合的表示方法
⑴列举法:将集合中元素一一列出。
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⑵描述法:将集合中元素的公共属性用语言描述出来。
⑶解析法:用解析式的方式描述出集合元素的公共属性。
⑷图示法:用韦恩图直观的画出集合中的元素。
3、集中特殊数集的表示方法
自然数集:N正整数集:N+
整数集:Z有理数集:Q
实数集:R空集:Φ
二、集合间的基本关系——子集与真子集
1、自反性——任何一个集合都是它本身的子集:A⊆A。
2、如果A⊆B且A≠B,则,A是B的真子集。
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3、传递性:如果A⊆B,B⊆C,则A⊆C。
4、如果A⊆B且B⊆A,则A=B。
5、空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
6、有n个元素的集合,有2 n个子集,有2n-1个真子集。
三、集合间的运算
运算
类型
交集
并集
补集
由所有属于集合A且属于集
由所有属于集合A或属于集
设S是一个集合,A是S的一个子
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定
义
合B的元素组成的集合称为
A和B的交集(A∩B)。
即A∩B={x∣x∈A且x∈B}
合B的元素组成的集合称为
A和B的并集(A∪B)。
即A∪B={x∣x∈A或x∈B}
集,由S中不属于A的元素组成的
集合称为S中A的补集(CSA)。
即CSA={x∣x∈S且xA}
图
示
性质
A∩A=A
A∪A=A
CSA∩CSB=CS(A∪B)
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A∩Φ=Φ
A∩B=B∩A
A∩B⊆A
A∩B⊆B
A∪Φ=A
A∪B=B∪A
A⊆A∪B
B⊆A∪B
CSA∪CSB=CS(A∩B)
A∪CSA=S
A∩CSA=Φ
四、函数的相关概念
1、函数:设A、B为非空集合,如果按照某个特定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,写作y=f(x),x∈A,其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合B={f(x)∣x∈A}叫做函数的值域。
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★2、函数定义域的解题思路:
⑴若x处于分母位置,则分母x不能为0。
⑵偶次方根的被开方数不小于0。
⑶对数式的真数必须大于0。
⑷指数对数式的底,不得为1,且必须大于0。
⑸指数为0时,底数不得为0。
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⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么,它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。
⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。
3、相同函数
⑴表达式相同:与表示自变量和函数值的字母无关。
⑵定义域一致,对应法则一致。
4、函数值域的求法
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⑴观察法:适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。
⑵图像法:适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。
⑶配方法:主要用于二次函数,配方成y=(x-a)2+b的形式。
⑷代换法:主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。
5、函数图像的变换
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⑴平移变换:在x轴上的变换在x上就行加减,在y轴上的变换在y上进行加减。
⑵伸缩变换:在x前加上系数。
⑶对称变换:高中阶段不作要求。
6、映射:设A、B是两个非空集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于A中的任意仪的元素x,在集合B中都有唯一的确定的y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的映射。