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高中数学培优——解三角形
解三角形
解三角形
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解三角形
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解三角形
常州二中徐金雅
课题:正弦定理(两课时)
教学目的:
⑴使学生掌握正弦定理
⑵能应用解斜三角形,解决实际问题。
教学过程:
引言:在直角三角形中,由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数,可以由已知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形怎么办?
解三角形
解三角形
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解三角形
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(创设情景)早在1671年,两个法国天文学家就测出了地球与月亮之间的距离大约是385400公里,你能设计一种近似的测量方法吗?
——提出课题:正弦定理
二、讲解新课:
正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,
即 ===2R(R为△ABC外接圆半径)
:sinA=,sinB=,sinC=1
即 c=,c=,c=.
解三角形
解三角形
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解三角形
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∴==
证明一:(等积法)在任意斜△ABC当中
S△ABC=
两边同除以即得:==
证明二:(外接圆法)
如图所示,∠A=∠D
∴
同理=2R,=2R
解三角形
解三角形
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解三角形
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证明三:(向量法)
过A作单位向量垂直于
由 +=
两边同乘以单位向量得•(+)=•
则•+•=•
∴||•||cos90°+||•||cos(90°-C)=||•||cos(90°-A)
∴∴=
同理,若过C作垂直于得:=∴==
正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题:
解三角形
解三角形
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解三角形
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,求其它两边和一角;
,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。(见图示)已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:
⑴若A为锐角时:
⑵若A为直角或钝角时:
三、讲解范例:
解三角形
解三角形
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解三角形
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例1已知在
解:
∴
由得
由得
例2在
解:∵
∴
解三角形
解三角形
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解三角形
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例3
解:
,
例4已知△ABC,BD为B的平分线,求证:AB∶BC=AD∶DC
分析:前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形:△ABD与△CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式:AB∶AD=BC∶DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比,故可利用正弦定理将所证继续转化为
解三角形
解三角形
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解三角形
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,再根据相等角正弦值相等,互补角正弦值也相等即可证明结论.
证明:在△ABD内,利用正弦定理得:
在△BCD内,利用正弦定理得:
∵BD是B的平分线.
解三角形
解三角形
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解三角形
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∴∠ABD=∠DBC∴sinABD=sinDBC.
∵∠ADB+∠BDC=180°
∴sinADB=sin(180°-∠BDC)=sinBDC
∴
∴
评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.
四、课堂练****br/>△ABC中,,则k为()