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高中数学解三角形最值
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高中数学解三角形最值
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三角形中的最值(或范围)问题
解三角形问题,可以较好地考察三角函数的诱导公式,恒等变换,边角转化,正弦余弦定理等知识点,是三角,函数,解析几何和不等式的知识的交汇点,在高考中容易出综合题,其中,三角形中的最值问题又是一个重点。其实,这一部分的最值问题解决的方法一般有两种:一是建立目标函数后,利用三角函数的有界性来解决,二是也可以利用重要不等式来解决。
类型一:建立目标函数后,利用三角函数有界性来解决
高中数学解三角形最值
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高中数学解三角形最值
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△ABC中,分别是内角的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.
(1)求角A的大小;(2)求的最大值.
高中数学解三角形最值
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高中数学解三角形最值
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变式1:已知向量,,且,其中是△ABC的内角,分别是角的对边.
(1)求角的大小;(2)求的最大值.
解:由,得a+b—c=ab=2abcosC
所以cosC=,从而C=60
故=sin(60+A)
所以当A=30时,的最大值是
高中数学解三角形最值
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高中数学解三角形最值
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⊿ABC中,若有2R(sinA—sinC)=(a—b)sinB成立,试求⊿ABC的面积S的最大值。
解:根据题意得:
2R(—)=(a—b)*
化简可得c=a+b—ab,由余弦定理可得:
C=45,A+B=135
高中数学解三角形最值
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高中数学解三角形最值
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S=absinC=2RsinA*2RsinB*sinC
=sinAsin(135—A)
=(sin(2A+45)+1
∵0<A<135∴45<2A+45<315
∴当2A+45=90即A=15时,S取得最大值。
类型二:利用重要不等式来解决
高中数学解三角形最值
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高中数学解三角形最值
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例2(13年重庆中学)在中,角A,B,C的对边分别为且.
(1)若,且<,求的值.(2)求的面积的最大值。
解 (1)由余弦定理,
∴
∴,
高中数学解三角形最值
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高中数学解三角形最值
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又∵<,
解方程组
得或(舍).
∴
(2)由余弦定理,
∴
∵
高中数学解三角形最值
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高中数学解三角形最值
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∴,又
∴
即时三角形最大面积为
⊿ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,⊿ABC的外接圆半径R=,且=
(1)求B和b的值;(2)求⊿ABC面积的最大值
高中数学解三角形最值
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高中数学解三角形最值
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解:由已知=,整理可得:sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB
即sin(B+C)=2sinAcosB
∵A+B+C=π∴sinA=2sinAcosB
∵sinA≠0∴cosB=∴B=60
∵R=,∴b=2RsinB=2sin60=3,
故角B=60,边b=3