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高考函数知识点总结(全面)
第二章函数
第二章函数
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第二章函数
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高考函数总结
一、函数的概念与表示
1、函数
(1)函数的定义
①原始定义:设在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,x叫作自变量。
②近代定义:设A、B都是非空的数的集合,f:x→y是从A到B的一个对应法则,那么从A到B的映射f:A→B就叫做函数,记作y=f(x),其中
第二章函数
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第二章函数
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,原象集合A叫做函数的定义域,象集合C叫做函数的值域。
(2)构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域
3、函数的表示方法①解析法②列表法③图象法
注意:强调分段函数与复合函数的表示形式。
二、函数的解析式与定义域
1、函数解析式:函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式,
求函数解析式的方法:
第二章函数
第二章函数
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第二章函数
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定义法(2)变量代换法(3)待定系数法
(4)函数方程法(5)参数法(6)实际问题
2、函数的定义域:要使函数有意义的自变量x的取值的集合。求函数定义域的主要依据:
(1)分式的分母不为零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义;
(3)对数函数的真数必须大于零;
(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;
第二章函数
第二章函数
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第二章函数
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如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的,那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。
3。复合函数定义域:已知f(x)的定义域为,其复合函数的定义域应由不等式解出。
三、函数的值域
在函数y=f(x)中,与自变量x的值对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。
第二章函数
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第二章函数
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①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y的集合;
②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合;
③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;
④当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。
第二章函数
第二章函数
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第二章函数
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①直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围;
②二次函数法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域;
③反函数法:将求函数的值域转化为求它的反函数的值域;
④判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;
⑤单调性法:利用函数的单调性求值域;
⑥不等式法:利用不等式的性质求值域;
⑦图象法:当一个函数图象可作时,通过图象可求其值域;
⑧几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。
第二章函数
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第二章函数
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: 设y=f(x),x∈A,如果对于任意∈A,都有,则称y=f(x)为偶函数。设y=f(x),x∈A,如果对于任意∈A,都有,则称y=f(x)为奇函数。如果函数是奇函数或偶函数,则称函数y=具有奇偶性。
:
①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称,
②y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,
第二章函数
第二章函数
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第二章函数
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③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反,奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同,
④偶函数无反函数,奇函数的反函数还是奇函数,
⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称,则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和
⑥奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1,D2,D1∩D2要关于原点对称]
⑦对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数,则F(x)是偶函数
若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数,则F(x)是奇函数
第二章函数
第二章函数
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第二章函数
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若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数,则F(x)是偶函数
①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系
五、函数的单调性
1、函数单调性的定义
一般地,设一连续函数 f(x)的定义域为D,则
如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2∈D且x1>x2,都有f(x1)>f(x2),即在D上具有单调性且单调增加,那么就说f(x)在这个区间上是增函数。