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华师大版九年级下册数学知识点总结
第二十六章二次函数一、二次函数看法:1、二次函数的看法:一般地,形如yax2bxc(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数。这里需要重申:和一元二次方程近似,二次项系数a0,而b,c可以为零。二次函数的定义域是全体实数。2、二次函数yax2bxc的结构特色:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2。a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。二、:yax2的性质:a的绝对值越大,抛物线的张口越小。
a的符号张口方向极点坐标
a0向上0,0a0向下0,0
:a的符号张口方向极点坐标
a0向上0,c
a0向下0,c
对称轴性质0时,y随x的增大而增大;y轴x0时,y随x的增大而减小;0时,y有最小值0。0时,y随x的增大而减小;y轴x0时,y随x的增大而增大;0时,y有最大值0。对称轴性质0时,y随x的增大而增大;y轴x0时,y随x的增大而减小;0时,y有最小值c。
0时,y随x的增大而减小;y轴x0时,y随x的增大而增大;x0时,y有最大值c。
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3.
y
a
x
2
的性质:
h
a的符号
张口方向
极点坐标
对称轴
性质
x
h时,y随x的增大而增大;
a
0
向上
h,0
X=h
x
h时,y随x的增大而减小;
x
h时,y有最小值0。
x
h时,y随x的增大而减小;
a
0
向下
h,0
X=h
x
h时,y随x的增大而增大;
x
h时,y有最大值0。
4.
y
a
x
2
k的性质:
h
a的符号
张口方向
极点坐标
对称轴
性质
a
0
h,k
x
h时,y随x的增大而增大;x
h时,y随
向上
X=h
x的增大而减小;xh时,y有最小值k。
a
0
h,k
x
h时,y随x的增大而减小;x
h时,y随
向下
X=h
x的增大而增大;xh时,y有最大值k。
三、二次函数图象的平移
1.
平移步骤:
方法一:⑴
将抛物线分析式转变为极点式y
ax
h
2
h,k;
k,确立其极点坐标
⑵保持抛物线y
ax2的形状不变,将其极点平移到
h,k处,详尽平移方法以下:
y=ax2
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
平移|k|个单位
y=a(x-h)2
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
y=a(x-h)2+k
平移规律在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”。概括成八个字“左加右减,上加下减”。方法二:⑴yax2bxc沿y轴平移:向上(下)平移m个单位,
yax2bxc变为yax2bxcm(或yax2bxcm)
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⑵y
ax2
bx
c沿轴平移:向左(右)平移
m个单位,
y
ax2
bxc变为y
a(x
m)2
b(x
m)
c(或y
a(x
m)2
b(x
m)
c)
四、二次函数
y
a
x
2
k与yax2
bx
c的比较
h
从分析式上看,
y
a
xh
2
bx
c是两种不一样的表达形式,后者经过配方可以获取前者,即
k与yax2
2
2
b,k
2
yax
b
4ac
b,此中h
4ac
b
。
2a
4a
2a
4a
五、二次函数
y
ax2
bx
c图象的画法
五点画图法:利用配方法将二次函数
y
ax2
bx
c化为极点式ya(x
h)2
k,确立其张口方向、对称轴
及极点坐标,而后在对称轴双侧,
:极点、与y轴的交点0,c、
以及
0,c关于对称轴对称的点
2h,c
、与x轴的交点
x1,0
,x2
,0
(若与x轴没有交点,则取两组关
于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:张口方向,对称轴,极点,与
x轴的交点,与
y轴的交点.
六、二次函数
y
ax2
bx
c的性质
1.
当a
0
时,抛物线张口向上,对称轴为
x
b
,极点坐标为
b,4ac
b2
。
2a
2a
4a
当x
b
时,y随x的增大而减小;当
x
b
时,y随x的增大而增大;当
x
b
时,y有最小值
2a
2a
2a
4ac
b
2
。
4a
2.
当a
0时,抛物线张口向下,对称轴为
x
b
,极点坐标为
b,4ac
b2
。当x
b时,y随x的
2a
2a
4a
2a
b时,y随x的增大而减小;当
b时,y有最大值4ac
2
增大而增大;当x
x
b
。
2a
2a
4a
七、二次函数分析式的表示方法
1.
一般式:y
ax2
bx
c(a,b,c为常数,a
0);
2.
极点式:y
a(x
h)2
k(a,h,k为常数,a0);
3.
两根式:y
a(x
x1)(xx2)(a
0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的分析式都可以化成一般式或极点式,但并不是全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛
物线与x轴有交点,即b
2
0时,抛物线的分析式才可以用交点式表示。二次函数分析式的这三种
4ac
、二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a
二次函数
y
ax2
bxc中,a作为二次项系数,明显a0。
⑴当a
0
时,抛物线张口向上,a的值越大,张口越小,反之
a的值越小,张口越大;
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⑵当a0时,抛物线张口向下,a的值越小,张口越小,反之a的值越大,张口越大。总结起来,a决定了抛物线张口的大小和方向,a的正负决定张口方向,a的大小决定张口的大小。
一次项系数b在二次项系数a确立的前提下,b决定了抛物线的对称轴。⑴在a0的前提下,
当b
0
时,
b
0
,即抛物线的对称轴在
y轴左边;
2a
当b
0
时,
b
0,即抛物线的对称轴就是
y轴;
2a
当b
0
时,
b
0,即抛物线对称轴在y轴的右边。
2a
⑵在a
0
的前提下,结论恰巧与上述相反,即
当b
0
时,
b
0,即抛物线的对称轴在
y轴右边;
2a
当b
0时,
b
0
,即抛物线的对称轴就是
y轴;
2a
当b
0
时,
b
0
,即抛物线对称轴在y轴的左边。
2a
总结起来,在a确立的前提下,
b决定了抛物线对称轴的地址。
ab的符号的判断:对称轴
x
b
0,概括的说就是“左
在y轴左边则ab0,在y轴的右边则ab
2a同右异”总结:常数项c
⑴当c
0
时,抛物线与
y轴的交点在x轴上方,即抛物线与
y轴交点的纵坐标为正;
⑵当c
0
时,抛物线与
y轴的交点为坐标原点,即抛物线与
y轴交点的纵坐标为0;
⑶当c
0
时,抛物线与
y轴的交点在x轴下方,即抛物线与
y轴交点的纵坐标为负。
总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的地址。总之,只要a,b,c都确立,那么这条抛物线就是独一确立的。二次函数分析式的确定:依据已知条件确立二次函数分析式,平时利用待定系数法。用待定系数法求二次函数的分析式一定依据题目的特色,选择适合的形式,才能使解题简略。一般来说,有以下几种状况:已知抛物线上三点的坐标,一般采纳一般式;已知抛物线极点或对称轴或最大(小)值,一般采纳极点式;已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般采纳两根式;已知抛物线上纵坐标同样的两点,常采纳极点式。九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况,可以用一般式或极点式表达关于x轴对称yax2bxc关于x轴对称后,获取的分析式是yax2bxc;
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2
k关于x轴对称后,获取的分析式是yaxh
2
yaxh
k;
关于y轴对称
y
ax
2
bx
c关于y轴对称后,获取的分析式是
y
ax2
bx
c;
y
a
x
h
2
y
ax
h
2
k关于y轴对称后,获取的分析式是
k;
关于原点对称
y
ax2
bx
c关于原点对称后,获取的分析式是
y
ax2
bx
c;
y
ax
h
2
y
a
x
h
2
k;
k关于原点对称后,获取的分析式是
(即:抛物线绕极点旋转180°)
2
y
ax2
bx
c关于极点对称后,获取的分析式是
y
ax
2
bx
c
b;
2a
y
ax
h
2
y
a
x
h
2
k。
k关于极点对称后,获取的分析式是
m,n对称
yax
2
m,n对称后,获取的分析式是y
2
2nk
hk关于点
axh2m
依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的形状必定不会发生变化,所以
a永久不变。求抛物
线的对称抛物线的表达式时,
可以依照题意或方便运算的原则,
选择适合的形式,<br****惯上是先确立原抛物线
(或
表达式已知的抛物线)的极点坐标及张口方向,再确立其对称抛物线的极点坐标及张口方向,而后再写出其对称抛物线的表达式。
十、二次函数与一元二次方程:
1.
二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与
x轴交点状况):
一元二次方程ax2
bxc0是二次函数yax2
bxc当函数值y
0时的特别状况.
图象与x轴的交点个数:
①当
b2
4ac0时,图象与x轴交于两点
Ax1,0
,Bx2,0
(x1
x2),此中的x1,x2是一元二次方程
2
c
0a0的两根。这两点间的距离
AB
x2
b2
4ac
axbx
x1
a
.
②当
0
时,图象与x轴只有一个交点;
③当
0
时,图象与x轴没有交点.
1'
当a
0时,图象落在
x轴的上方,无论
x为任何实数,都有
y
0;
2'当a
0
时,图象落在
x轴的下方,无论
x为任何实数,都有
y
0。
2.
抛物线y
ax2
bxc的图象与
y轴必定订交,交点坐标为
(0,c);
二次函数常用解题方法总结:求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转变为一元二次方程;
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⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转变为极点式;⑶依据图象的地址判断二次函数yax2bxc中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判断
图象的地址,要数形结合;⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,乞降已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数相关的还有二次三项式,二次三项式ax2bxc(a0)自己就是所含字母x的二次函数;下边
以a0时为例,揭穿二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
0
抛物线与
x轴有
二次三项式的值可正、
一元二次方程有两个不相等实根
两个交点
可零、可负
0
抛物线与
x轴只
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
有一个交点
0
抛物线与
x轴无
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
交点
二次函数图像参照:
y=2x2
y=3(x+4)2
y=3x2
y=3(x-2)2
y=x2
y=2x2
y=2(x-4)
2
y=
x2
2
y=2(x-4)
2-3
y=2x2+2y=2x2
y=2x2-4x2
y=-
2
y=-x2
y=-2(x+3)
2
y=-2x
2
y=-2(x-3)2
y=-2x2
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十一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获取最大利润最大面积是多少第二十七章:《圆》一、知识回顾圆的周长:C=2πr或C=πd、圆的面积:S=πr2圆环面积计算方法:S=πR2-πr2或S=π(R2-r2)(R是大圆半径,r是小圆半径)
二、知识重点一、圆的看法会集形式的看法:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的会集;2、圆的外面:可以看作是到定点的距离大于定长的点的会集;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的会集轨迹形式的看法:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧。2、垂直均分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直均分线;3、角的均分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的均分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的地址关系
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1、点在圆内2、点在圆上3、点在圆外
d
r
点C在圆内;
A
d
r
点B在圆上;
d
r
d
r
点A在圆外;
O
B
d
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三、直线与圆的地址关系1、直线与圆相离2、直线与圆相切3、直线与圆订交
rdrdr
C无交点;有一个交点;有两个交点;
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r
d=r
r
d
d
四、圆与圆的地址关系外离(图1)无交点dRr;
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外切(图
2)
有一个交点
d
R
r;
订交(图
3)
有两个交点
R
r
d
Rr;
内切(图
4)
有一个交点
d
R
r
;
内含(图
5)
无交点
d
R
r
;
d
d
d
R
r
R
r
R
r
图1
图2
图3
d
d
r
R
r
R
图4
图5
五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径均分弦且均分弦所对的弧。推论1:(1)均分弦(不是直径)的直径垂直于弦,而且均分弦所对的两条弧;2)弦的垂直均分线经过圆心,而且均分弦所对的两条弧;3)均分弦所对的一条弧的直径,垂直均分弦,而且均分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道此中2个即可推出其余3个结论,即:①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD
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中任意2个条件推出其余3个结论。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在⊙O中,∵AB∥CD∴弧AC弧BD六、圆心角定理
A
CD
OO
AB
ECDB
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极点到圆心的角,叫圆心角。圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。此定理也称1推定理,即上述四个结论中,
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只要知道此中的1个相等,则可以推出其余的3个结论,即:①AOBDOE;②ABDE;OCOF;④弧BA弧BD
七、圆周角定理极点在圆上,而且两边都与圆订交的角,叫圆周角。
E
FODA
C
BC
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8BO
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A
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1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即:∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角AOB2ACB2、圆周角定理的推论:推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;即:在⊙O中,∵C、D都是所对的圆周角∴CD推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。即:在⊙O中,∵AB是直径或∵C90∴C90∴AB是直径推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。即:在△ABC中,∵OCOAOB∴△ABC是直角三角形或C90注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。即:在⊙O中,
∵四边形ABCD是内接四边形
D
C
∴C
BAD180B
D180
DAE
C
B
九、切线的性质与判判定理
A
1)切线的判判定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切两个条件:过半径外端且垂直半径,两者缺一不行即:∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)O推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。
MA
以上三个定理及推论也称二推必定理:即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道此中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理:9P
CBOAC
BA
O
C
BA
OE
线;
NB
O
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A
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从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线均分两条切线的夹角。即:∵PA、PB是的两条切线PAPBPO均分BPA
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十一、圆幂定理1)订交弦定理:圆内两弦订交,交点分得的两条线段的乘积相等。即:在⊙O中,∵弦AB、CD订交于点P,
DOP
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∴PAPBPCPD
C
A
(2)推论:假如弦与直径垂直订交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段
的比率中项。
C
即:在⊙O中,∵直径ABCD,
B
E
A
O
∴CE2
AEBE
D
(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,
切线长是这点到割线
与圆交点的两条线段长的比率中项。
A
E
即:在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线
D
O
P
∴PA2
PCPB
C
B
4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。即:在⊙O中,∵PB、PE是割线PCPBPDPE
十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直而且均分这两个圆的的公共弦。
A
如图:O1O2垂直均分AB。
O1
O2
即:∵⊙O1、⊙O2订交于A、B两点
B∴O1O2垂直均分AB
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式:
A
B
(1)公切线长:RtO1O2C中,AB2
CO1
2
O1O2
2
CO2
2;
C
O1
O2
2)外公切线长:CO2是半径之差;内公切线长:CO2是半径之和。十四、圆内正多边形的计算
C(1)正三角形在⊙O中△ABC是正三角形,相关计算在RtBOD中进行:
OBC10
BDAOAD
E
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