初中九年级数学上册教案.pdf

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第个教案
课题建立一元二次方程模型课型新授课
知识技能:
1、使学生了解一元二次方程的意义
2、使学生认识一元二次方程的一般形式,并会熟练地把一元二次方程化成一
般形式.
教学目标
过程方法:
根据具体问题中的数量关系,列出方程。
情感态度价值观:
体会方程在数学知识中的运用。
建立一元二次方程的概念,认识一元二次方程的一般形式,能够根据具体问题
教学重点
的数量关系,列出方程。
把实际问题转化为一元二次方程的模型;在一元二次方程化成一般形式后,如
教学难点
何确定一次项和常数项。
教学方法自主探究法
教学内容及过程备注
一、创设问题情景
问题1:
绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一
块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?
分析:
,
不难列出方程
x(x+10)=900
整理可得
x2+10x-900=0.(1)
问题2:
学校图书馆去年年底有图书5万册,
这两年的年平均增长率.
分析:
设这两年的年平均增长率为x,我们知道,去年年底的图书数是5万册,
则今年年底的图书数是5(1+x)万册;同样,明年年底的图书数又是今年年
底的(1+x)倍,即5(1+x)(1+x)=5(1+x)
5(1+x)2=,
整理可得
5x2+10x-=0.(2)
二、探索方程特点
通过以上的分析和思考,问题1和问题2分别归纳为解方程(1)和(2),
显然,这两个方程都不是一元一次方程,我们先来研究这两个方程与一元一次
方程有什么异同点,以后再研究如何解决这类方程。
问题3:以上两个方程与一元一次方程的区别在哪里?
问题4:他们有什么共同点呢?
对于问题3和问题4,组织学生分组讨论,然后选代表发言,交流后达成:.
共识。
三、归纳、探索
问题5:你能类比一元一次方程给上面两个方程起个名称吗?
(一元二次方程)
问题6:根据以上讨论的结果,你能给一元二次方程下个定义吗?
归纳为:整式方程中只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这
样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程通常写成如下一般形式:
ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数,a≠0)其中a、b、c分别叫做二次项
系数、一次项系数和常数项.
提问:分别说出方程(1)(2)的二次项系数、一次项系数和常数项。
四、例题讲解:
例1把方程(x+3)(3x-4)=(x+2)2化成一般形式,并指出它的
二次项系数、一次项系数和常数项。
例2下列方程,哪些是一元二次方程?哪些是一元一次方程?
(1)2x+3=5x-2(2)x2=25
(3)(x-1)(x-2)=x2+6(4)(x+2)(3x-1)=(x-1)2
课堂练****P4练****1、2、3
五、课堂小结:
1、什么样的方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式怎么表示?
3、一元二次方程二次项系数可以是任意实数吗?
4、如何确定一元二次方程一次项系数和常数项?
六、作业:
教材P4T1(A组)教材P5T1(B组)
教学后记:
:.
第个教案
课题一元二次方程的解法(1)课型新授课
知识技能:
a(xk)2b
1、会用直接开平方法解形如(a≠0,ab≥0)的方程;
2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。
教学目标
过程方法:
使学生了解转化的思想在解方程中的应用,渗透换元方法。
情感态度价值观:
体会转化思想在数学知识中的运用
合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程,理解一
教学重点
元二次方程无实根的解题过程。
合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程,理解一
教学难点
元二次方程无实根的解题过程。
教学方法自主探究法
教学内容及过程备注
一、创设问题情景
问:怎样解方程x2=4的?
解:1、直接开平方,得x=±2
所以原方程的解是x=2,x=-2
12
2、原方程可变形为
x2-4=0
方程左边分解因式,得
(x+2)(x-2)=0
所以x+2=0,x-2=0
原方程的解x=2,x=-2
12
二、例题讲解与练****巩固
1、例1解下列方程
(1)(x+1)2-4=0;(2)12(2-x)2-9=0.
a(xk)2b
分析:两个方程都可以转化为(a≠0,ab≥0)
的形式,从而用直接开平方法求解.
解:(1)原方程可以变形为
(x+1)2=4,
直接开平方,得
x+1=±2.
所以原方程的解是x=1,x=-3.
12
另解:原方程可以变形为
________________________,
有________________________.
所以原方程的解是x=________,x=_________.
12
(x1)x2b
2、说明:(1)这时,只要把看作一个整体,就可以转化为:.
b
(≥0)型的方法去解决,这里体现了整体思想。
3、练****一解下列方程:
(1)(x+2)2-16=0;(2)(x-1)2-18=0;
(3)(1-3x)2=1;(4)(2x+3)2-25=0.
三、讨论、探索:解下列方程
(1)(x+2)2=3(x+2)(2)2y(y-3)=9-3y
(3)(x-2)2-x+2=0(4)(2x+1)2=(x-1)2
x22x149
(5)。
练****教材P8练****题
四、本课小结:
a(xk)2bb(xk)
1、对于形如(a≠0,a≥0)的方程,只要把看
x2n
作一个整体,就可转化为(n≥0)的形式用直接开平方法解。
2、当方程出现相同因式(单项式或多项式)时,切不可约去相同因式,
而应用因式分解法解。
五、作业:
教材P19T1、2
教学后记:
:.
第教案
课题一元二次方程的解法(2)课型新授课
知识技能:
1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0,另一边可分解成两个一次因
式乘积的一元二次方程。
2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。
教学目标
过程方法:
利用已学过的知识引导学生解方程。
情感态度价值观:
进一步让学生体会“降次”的化归的思想。
教学重点掌握用因式分解法解某些一元二次方程。
教学难点用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程。
教学方法自主探究法
教学内容及过程备注
一、复****引入
1、提问:(1)解一元二次方程的基本思路是什么?(2)现在我们已
有了哪几种将一元二次方程“降次”为一元一次方程的方法?
2、用两种方法解方程:9(1-3x)2=25
二、创设问题情景
1、说一说:因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程。
归纳结论:因式分解法适用于解一边为0,另一边可分解成两个一次
因式乘积的一元二次方程。
2、想一想:-2t=0,这个方
程能用因式分解法解吗?
三、探究新知
-2t=0,
题二。
解得t=0,t=200
12
t=0表明小明与小亮第一次相遇;t=200表明经过200s小明与小亮
12
再次相遇。
四、例题讲解
1、例1解下列方程
(1)5x2+15x=0;(2)x2=4x.
2、让学生讨论教材P9“说一说”中的问题。
3、例2解下列方程
(1)x(x-5)=3x;(2)2x(5x-1)=3(5x-1).
解:(1)原方程可化为x(x-5)-3x=0
把方程左边因式分解,得x(x-5-3)=0
∴x=0或x-5-3=0
即x=0x=8
12
(2)原方程可化为2x(5x-1)-3(5x-1)=0:.
把方程左边因式分解,得(5x-1)(2x-3)=0
∴5x-1=0或2x-3=0
即x=1/5x=3/2
12
五、应用新知
练****P10
六、小结
1、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是:先把一个一元二次方
程变形,使它有一边为0,另一边分解成两个一次因式的乘积,然后使每
一个一次因式等于0,分别解这两个一元一次方程,得到的两个解就是原
一元二次方程的解。
2、在解方程时,千万注意两边不能同时除以一个含有未知数的代数式,
否则可能丢失方程的一个根。
七、思考与拓展
用因式分解法解一元二次方程。议一议:对于含括号的一元二次方程,
应如何变形,再用因式分解法解。
(1)2(3x-2)=(2-3x)(x+1)
(2)(x-1)(x+3)=12
八、作业:
教材P19T2
教学后记:
:.
第教案
课题一元二次方程的解法(3)课型新授课
知识技能:
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程.
2、使学生掌握配方法的推导过程,熟练地用配方法解一元二次方程。
教学目标过程方法:
在配方法的应用过程中运用“转化”的思想,掌握一些转化的技能。
情感态度价值观:
配方法的应用过程中体会“转化”的思想
教学重点使学生掌握配方法,解一元二次方程。
(xp)2q
教学难点把一元二次方程转化为
教学方法合作探究法
教学内容及过程备注
一、复****提问
解下列方程,并说明解法的依据:
x1260x2210
32x21
(1)(2)(3)
通过复****提问,指出这三个方程都可以转化为以下两个类型:
x2bb0和xa2bb0
根据平方根的意义,均可用“直接开平方法”来解,如果b<0,方
程就没有实数解。如(x-1)2=-2
请说出完全平方公式。(x+a)2=x2+2ax+a2
(x-a)2=x2-2ax+a2
二、引入新课
x2A0x2A(A0)
我们知道,形如的方程,可变形为,再根
据平方根的意义,,我们能否将形如
x2bxc0
的一类方程,化为上述形式求解呢?这正是我们这节课要
解决的问题.
三、探索:
1、例1、解下列方程:
x2x2
+2x=5;(2)-4x+3=0.
思考:能否经过适当变形,将它们转化为()2=a的形式,
应用直接开方法求解?
解:略
三、归纳
x2
上面,我们把方程-4x+3=0变形为(x-2)2=1,它的左边是一
个含有未知数的完全平方式,,就能应用直接开:.
.
注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后,左边可以用完全平方
公式从而转化为用直接开平方法求解。
那么,在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢?
四、试一试:对下列各式进行配方:
教材P12练****T1
通过练****使学生认识到;配方的关键是在方程两边同时添加的常数
项等于一次项系数一半的平方。
五、例题讲解与练****巩固
1、例2、用配方法解下列方程:
(1)x2-6x-7=0;(2)x2+3x+1=0.
2、练****br/>①.填空:
(1)x2+6x+()=()2;(2)x2-8x+()=(x-)2
(3)x2+x+()=(x+)2;
②用配方法解方程:
(1)x2+8x-2=0(2)x2-5x-6=0.
(3)x2+7=-6x
六、本课小结:
让学生反思本节课的解题过程,归纳小结出配方法解一元二次方程的
步骤:
把常数项移到方程右边,在方程的两边各加上一次项系数的一半的平
方,使左边成为完全平方;
如果方程的右边整理后是非负数,用直接开平方法解之,如果右边是
个负数,则指出原方程无实根。
七、布置作业:教材P12T2
教学后记:
:.
第个教案
课题一元二次方程的解法(4)课型新授课
知识技能:
1、掌握用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程.
2、使学生掌握配方法的推导过程,熟练地用配方法解一元二次方程。
教学目标过程方法:
在配方法的应用过程中体会“转化”的思想,掌握一些转化的技能。
情感态度价值观:
体会数学知识的精确性,提供解题的正确率。
教学重点使学生掌握配方法,解一元二次方程。
(xp)2q
教学难点把一元二次方程转化为
教学方法合作探究法
教学内容及过程备注
一、复****提问
1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?
2、解下列方程x2+x-1=0
讲解教材P13做一做,让学生去思考、去做。
二、引入新课
探究:如何解一元二次方程2x2-4x-6=0
观察:这个方程的二次项系数不是1,配方比较麻烦,如何求解?
解:方程两边同除以2得x2-2x-3=0
移项得x2-2x=3
方程左边配方得x2-2x+12=3+12
即(x-1)2=4
x-1=2x-1=-2
解得x=3x=-1
12
三、例题讲解
用配方法解下列方程:4x2-12x-1=0;
请你和同学讨论一下:如何应用配方法?
先由学生讨论探索,再教师板书讲解。
1
解:(1)将方程两边同时除以4,得x2-3x-=0
4
1
移项,得x2-3x=
4
31335
配方,得x2-3x+()2=+()2即(x—)2=
24222
310310
直接开平方,得x—=±所以x=±
2222
310310
22
所以x=,x=
12:.
练****P15
通过练****使学生认识到;配方前将一元二次方程中的二次项系数化
为1;配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的
平方。
四、试一试
用配方法解方程x2+px+q=0(p2-4q≥0).
先由学生讨论探索,教师再板书讲解。
解:移项,得x2+px=-q,
ppp
22222
配方,得x+2·x·+()2=()-q,
pp24q
224
即(x+)=.
因为p2-4q≥0时,直接开平方,得
pp24qpp24q
2222
x+=±.所以x=-±,
pp24q
2
即x=.
思考:这里为什么要规定p2-4q≥0?
五、本课小结:让学生反思本节课的解题过程,归纳小结出配方法解一
元二次方程的步骤:1、把常数项移到方程右边,用二次项系数除方程的
两边使新方程的二次项系数为1;2、在方程的两边各加上一次项系数的
一半的平方,使左边成为完全平方;
如果方程的右边整理后是非负数,用直接开平方法解之,如果右边是个负
数,则指出原方程无实根。
六、布置作业:P19T3
教学后记:
:.
第教案
课题一元二次方程的解法(5)课型新授课
知识技能:
1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、使学生经历探索求根公式的过程,培养学生抽象思维能力。
过程方法:
教学目标
利用已经学****的配方法推导出一元二次方程的求根公式。
情感态度价值观:
在探索和应用求根公式中,使学生进一步认识特殊与一般的关系,渗
透辩证唯物广义观点。
对文字系数二次三项式进行配方;求根公式的结构比较复杂,不易记忆;
教学重点
系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。
教学难点掌握一元二次方程的求根公式,并应用它熟练地解一元二次方程。
教学方法合作探究法
教学内容及过程备注
一、复****旧知,提出问题
1、用配方法解下列方程:
1
3x212x0
x21510x3
(1)(2)
2、用配方解一元二次方程的步骤是什么?
3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程,计算比较麻烦,能否研究出
一种更好的方法,迅速求得一元二次方程的实数根呢?
二、探索求根公式
ax2bxc0(a0)
问题1:能否用配方法把一般形式的一元二次方程
bb24ac
(x)2
a4a2
转化为呢?
教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程,让学生分
组讨论交流,达成共识:
a0a
因为,方程两边都除以,得
bc
x2x0
aa
移项,得
bc
x2x
aa
配方,得
bbbc
x22x()2()2
2a2a2aa:.
bb24ac
(x)2
2a4a2
即
b24ac
b24ac0a04a2
问题2:当,且时,大于等于零吗?
b24ac0a0
让学生思考、分析,发表意见,得出结论:当时,因为,
b24ac
0
4a204a2
所以,从而。
问题3:在研究问题1和问题2中,你能得出什么结论?
b24ac0
让学生讨论、交流,从中得出结论,当时,一般形式的
bb24ac
x
ax2bxc0(a0)2a2a
一元二次方程的根为,即
bb24ac
x
2a
。
ax2bxc0(a0)
由以上研究的结果,得到了一元二次方程的
bb24ac
x
2ab24ac0
求根公式:()
abc
这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的,利用这
abc
个公式,我们可以由一元二次方程中系数、、的值,直接求得方程
的解,这种解方程的方法叫做公式法。
b24ac
思考:当<0时,方程有实数根吗?
三、例题讲解
例1、解下列方程:
2x2x60x24x2
1、;2、;
5x24x1204x24x1018x
3、;4、
教学要点:(1)对于方程(2)和(4),首先要把方程化为一般形式;
abc
(2)强调确定、、值时,不要把它们的符号弄错;
b24ac
(3)先计算的值,再代入公式。:.
x2x10
例2、(补充)解方程
a1b1c1
解:这里,,,
b24ac(1)241130
因为负数不能开平方,所以原方程无实数根。
让学生反思以上解题过程,归纳得出:
b24ac0
当时,方程有两个不相等的实数根;
b24ac0
当时,方程有两个相等的实数根;
b24ac0
当时,方程没有实数根。
四、课堂练****br/>P19练****br/>五、小结:
根据你学****的体会,小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法?通
常你是如何选择的?和同学交流一下。
六、作业:
P19T4。
教学后记:
:.
第教案
课题一元二次方程根的判别式课型新授课
(一)知识技能:
.
.
(二)过程方法:
教学目标
,逻辑性和灵活性.
.
(三)情感态度价值观:
通过例题教学,渗透分类的思想.
教学重点运用判别式求出符合题意的字母的取值范围
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当△>0时,有两个不相等的实数
教学难点
根;当△=0时,有两个相等的实数根;当△<0时,没有实数根。
教学方法合作探究法
教学内容及过程备注
一、复****提问
(1)一元二次方程的一般形式?说出二次项系数,一次项系数及常数
项.
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式是什么?如何确定它的根
的情况?
二、新课探究
将复****提问中的问题(2)的正确答案板书:“一元二次方程ax2+bx+c
=0,当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相
等的实数根;当△<0时,方程没有实数根”。这样我们就可以不解方程
直接判定方程的根的情况。
例1不解方程,判别下列方程根的情况:
(1)3x2+4x-3=0(2)7y=5(y2+1)
(3)4x2=12x-9
提出问题:将上面的命题反过来是否成立?答案是显然的。
即“一元二次方程ax2+bx+c=0,如果方程有两个不相等的实数根,则
△>0;如果方程有两个相等的实数根,则△=0;如果方程没有实数根,则
△<0.”(这里△=b2-4ac)。即根据方程的根的情况,可以决定△值
的符号,‘△’的符号,
题:
例1已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0,k取什么值时
(1)方程有两个不相等的实数根;(2)方程有两个相等的实数根;
(3)方程无实数根.
解:∵a=2,b=-4k-1,c=2k2-1,
∴b2-4ac=(-4k-1)2-4×2×(2k2-1)=8k+9.
9
当8K90,即K时,方程有两个不相等的实数根.
8
9
当8K9=0,即K=时,方程有两个相等的实数根.
8:.
9
当8K90,即K时,方程无实数根.
8
+(2t+1)x+(t-2)2=0.
t取什么值时,(1)方程有两个不相等的实数根?(2)方程有两个
相等的实数根?(3)方程没有实数根?
学生模仿例题步骤板书、笔答、,纠正不正确的步骤.
假设二次项系数不是2,也不是1,而是k,还需考虑什么呢?如何作
答?
:关于x的一元二次方程:
kx2+2(k+1)x+k=0有两个实数根,求k的取值范围.
和学生一起审题(1)“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0.(2)
“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根,
可得到△≥≠0且△≥0确定k的取值范围.
分析:先计算出△的值,再利用有关结论进行说明.
(四)总结、扩展
,求符合题意的字母的取值范围
:
(1)要用b2-4ac,要特别注意二次项系数不为零这一条件.
(2)认真审题,严格区分条件和结论,譬如是已知△>0,还是要证
明△>0.
(3)要证明△≥0或△<0,需将△恒等变形为a2+2,-(a+2)2……
从而得到判断.
、解决问题的能力,提高推理严密性和思维全面性的
能力.
四、布置作业:.
,判别下列方程的根的情况:
(1)3x2+4x-2=0(2)2y2+5=6y
(3)4p(p-1)-3=0(4)x2+5=25x
后记::.
第个教案
课题一元二次方程根的应用(1)课型新授课
知识技能:
1、让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元
二次方程的应用价值。
2、在应用一元二次方程解决问题的过程中,提高学生的分析问题、解决
教学目标问题的能力。
过程方法:
通过分析问题列出方程解决问题
情感态度价值观:
体会数学知识在现实生活中的作用。
教学重点建立一元二次方程模型解决一些代数问题。
教学难点把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题。
教学方法合作探究法
教学内容及过程备注
一、复****提问
1、回顾与思考:你已经学过了用什么样的方程解应用题?“列方程解
应用题”你有什么经验?
2、填空:
(1)当x=___时,代数式3x-5与3+2x的值互为相反数。
(2)当x=___时,代数式3x-5的值大于3+2x的值。
(3)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中
当b2-4ac__0时,方程有两个不相等的实数根;
当b2-4ac__0时,方程有两个相等的实数根;
当b2-4ac__0时,方程没有实数根。
二、创设问题情境
前面我们已经体会到方程是刻画现实世界中等量关系的工具,现在通
过学****一元二次方程的应用能使我们进一步感受到方程的作用,数学的价
值。
三、例题讲解
例1当x取什么值时,一元二次多项式x2-x-2与一元一次多项式
2x-1的值相等。
例2当y取什么值时,一元二次多项式(y-5)2+9y2的值等于40?:.
说明和建议:让学生明确解这类题的步骤是:首先用方程表示问题
中的数量关系(即列出方程),然后将方程整理成一般形式并求解,最后
作答。
四、练****教材P22T1
五、小结:
1、用一元二次方程解一些代数问题的基本步骤是什么?
2、在本节课的解题中要注意一些什么问题?
六、作业:
1、教材P27T1
2、当x取什么值时,一元二次多项式x2-4x+1的值等于-3?
教学后记:
:.
第个教案
课题一元二次方程根的应用(2)课型新授课
知识技能:
1、使学生能根据量之间的关系,列出一元二次方程的应用题。
2、提高学生分析问题、解决问题的能力。
教学目标过程方法:
列方程解决实际问题
情感态度价值观:
体会数学知识在现实生活中的运用。
教学重点应用一元二次方程解决实际问题。
教学难点从实际问题中建立一元二次方程的模型。
教学方法合作探究法
教学内容及过程备注
一、复****提问
1、列方程解应用题的一般步骤是什么?
2、说一说,菱形的面积与它的对角线长有什么关系?
二、例题讲解
例1展示教材P22例4。
(1)引导学生审题,弄清已知数、未知数以及它们之间的关系;
(2)确定本题的等量关系是:菱形的面积=1/5矩形面积;
(3)引导学生根据题意设未知数;
(4)引导学生根据等量关系列出方程;
(5)引导学生求出所列方程的解;
(6)检验所求方程的解的合理性;
(7)根据题意作答;
(8)教师板书解题过程。
例2如图,一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮,要
在它的四角截去四个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体水槽,使
。
解:设截去正方形的边长x厘米,底面(图中虚线线部分)长等于
S
厘米,宽等于厘米,底面=。
请同学们自己列出方程并解这个方程,讨论它的
解是否符合题意。
由学生回答解题过程,教师板书:
解设截去正方形的边长为x厘米,根据题意,
得
(60-2x)(40-2x)=800
解方程得
x10x40
1,2,