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必修四第一章三角函数
一、随意角和弧度制
1、角的观点的推行
定义:一条射线OA由本来的地点,绕着它的端点
O按必定的方向旋转到另一地点
OB,就
形成了角
,
记作:角
或
能够简记成
。
注意:(1)“旋转”形成角,突出“旋转”
(2)“极点”“始边”“终边”“始边”常常合于x轴正半轴
(3)“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
2、角的分类:因为用“旋转”定义角以后,角的围大扩大了。能够将角分为正角、零角
和负角。
正角:依据逆时针方向转定的角。
零角:没有发生任何旋转的角。
负角:依据顺时针方向旋转的角。
3、“象限角”
为了研究方便,我们常常在平面直角坐标系中来议论角,角的极点合于坐标原点,角
的始边合于x轴的正半轴。
角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角
角的终边落在座标轴上,则此角不属于任何一个象限,称为轴线角。
4、常用的角的会合表示方法
<1>、终边相同的角:
(1)终边相同的角都能够表示成一个0到360的角与k(kZ)个周角的和。
(2)全部与终边相同的角连同在能够组成一个会合
.
.
S|k360,kZ
即:任何一个与角终边相同的角,都能够表示成角与整数个周角的和
注意:1、kZ
2、是随意角
3、终边相同的角不必定相等,但相等的角的终边必定相同。终边相同的角有无数个,
它们相差360°的整数倍。
4、一般的,终边相同的角的表达形式不独一。
<2>、终边在座标轴上的点:
终边在x轴上的角的会合:
|
k
180,k
Z
终边在y轴上的角的会合:|
k18090,k
Z
终边在座标轴上的角的会合:
|
k
90,k
Z
<3>、终边共线且反向的角:
终边在yx轴上的角的会合:
|
k180
45
,k
Z
=
终边在y
x轴上的角的会合:
|
k180
45,k
Z
<4>、终边相互对称的角:
若角
与角
的终边对于x轴对称,则角
与角
的关系:
360
k
若角
与角
的终边对于y轴对称,则角
与角
的关系:
360
k180
若角
与角
的终边在一条直线上,则角
与角
的关系:
180k
角
与角
的终边相互垂直,则角
与角
的关系:360k
90
二、弧度与弧度制
<1>、弧度与弧度制:
弧度制—另一种胸怀角的单位制,它的单位是rad读作弧度
定义:长度等于的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
.
.
BCl=2r
r
2rad
1radArA
oo
如图:AOB=1rad,AOC=2rad,周角=2rad
注意:
1、正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0
2、角的弧度数的绝对值
l
(l为弧长,r为半径)
r
3、用角度制和弧度制来胸怀零角,单位不一样,但数目相同(都是
0)
用角度制和弧度制来胸怀任一非零角,单位不一样,量数也不一样。
4、在同一个式子中角度、弧度不可以够混用。
<2>、角度制与弧度制的换算
弧度定义:对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度
角度与弧度的交换关系:∵360=rad180=rad
1=
180
1rad
180
'
注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.
三、弧长公式和扇形面积公式
lr;
S
1lR
1
r2
2
2
.
.
一、三角函数定义
如图,设锐角
的极点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一
2
2
2
y2)。
(a,b),它与原点的距离r(rx
yx
()比值y叫做
的正弦,记作
sin
,即
sin
y;
1
r
r
(2)比值x叫做
的余弦,记作cos
,即cos
x;
r
r
(3)比值y叫做
的正切,记作tan
,即tan
y;
x
(4)比值x叫做
的余切,记作cot
,即cot
x;
y
y
(5)比值r叫做
的正割,记作sec
,即sec
r;
x
x
(6)比值r叫做
的余割,记作csc
,即csc
r.
y
y
二、三角函数的定义域、值域
①的始边与x轴的非负半轴重合,的终边没有表示必定是正角或负角,以及的大
小,只表示与的终边相同的角所在的地点;
②依据相像三角形的知识,对于确立的角,六个比值不以点P(x,y)在的终边上的地点
的改变而改变大小;
k(k
Z)
x都等于0,所以
③当
2
时,的终边在y轴上,终边上随意一点的横坐标
tan
y
r
x
csc
r
sec
x无心义;同理,当
Z)时,
coy
y无心义;
x与
k(k
y与
y
x
y
xr
r
④除以上两种状况外,对于确立的值α,比值
r
、r
、x
、y、x、y分别是一个确立的
实数,所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量,一比值为函数值的函
数,以上六种函数统称为三角函数。
.
.
三角函数的定义域、值域
函
数
定
义
域
值
域
y
sin
R
[
1,1]
y
cos
R
[
1,1]
y
tan
{
|
2
k,kZ}R
由三角函数的定义,以及各象限点的坐标的符号,我们能够得悉:
y
①正弦值r
对于第一、二象限为正(
y
0,r
0),对于第三、四象限为负(
y
0,r
0);
x
②余弦值r
对于第一、四象限为正(
x
0,r
0),对于第二、三象限为负(
x
0,r
0);
y
③正切值x对于第一、三象限为正(x,y同号),对于第二、四象限为负(x,y异号).说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。
sin
正弦、余割
余弦、正割
正切、余切
y
y
y
csc
为正
全正
+
+
-
+
-
+
tan
cos
o
x
o
+
x
o
x
cot
sec为正
-
-
+
-
为正
-
四、引诱公式
1、由三角函数的定义,便可知道:终边相同的角三角函数值相同。
.
.
即有:
sin(
2k
)
sin
,
cos(
2k
)
cos,此中k
Z.
tan(
2k
)
tan
,
这组公式的作用是可把随意角的三角函数值问题转变为
0~2π间角的三角函数值问题.
2、三角函数引诱公式(k
)的实质是:奇变偶不变(对k而言,指k取奇数或偶数),
2
符号看象限(看原函数,同时可把
当作是锐角).
引诱公式的应用是求随意角的三角函数值,其一般步骤:(1)负角变正角,再写成
2k+,02;(2)转变为锐角三角函数
五、三角函数线的定义:
设随意角
的极点在原点
O,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆订交与点
P(x,y),过P作x轴的垂线,垂足为M;过点A(1,0)作单位圆的切线,它与角
的终边或
其反向延伸线交与点T.
y
T
y
P
P
oM
A
Mo
A
x
x
T
(Ⅰ)
(Ⅱ)
y
Ty
M
A
MA
o
x
o
x
P
P
T
由四个图看出:
(Ⅲ)
(Ⅳ)
当角的终边不在座标轴上时,有向线段
OM
x,MPy,于是有
.
.
y
y
yMP
x
x
OM
sin
cos
x
r
1
,
r
1
,
y
MP
AT
tan
AT
x
OM
OA
.
我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。
①三条有向线段的地点:正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段;余弦
线在x轴上;正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在单位
圆,一条在单位圆外。
②三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点;余弦线由原点
指向垂足;正切线由切点指向与的终边的交点。
③三条有向线段的正负:三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正当,与x轴或y轴反
向的为负值。
④三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后边。
注:
1)三角函数线的特色是:正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在x轴
上(起点是原点)”、正切线AT“站在点A(1,0)处(起点是A)”.
2)三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。
六、同角三角函数的基本关系式
:
(1)平方关系:sin2
cos2
1,1
tan2
sec2
,1cot2
csc2
(2)倒数关系:sin
csc=1,cos
sec
=1,tan
cot=1,
(3)商数关系:tan
sin
,cot
cos
cos
sin
同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其余
.
.
三角函数值。在运用平方关系解题时,要依据已知角的围和三角函数的取值,尽可能地压
缩角的围,以便进行定号;在详细求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系
式,而是先依据角的围确立三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的
绝对值。
知识点1:引诱公式(二)
sin(180°+)=-sincos(180°+)=-cos
tg(180°+)=tg
(2)构造特色:①函数名不变,符号看象限(把看作锐角时)
②把求(180°+)的三角函数值转变为求的三角函数值。
知识点2:引诱公式(三)
sin(-)=-sincos(-)=cos
tg(-)=-tg
构造特色:①函数名不变,符号看象限(把看作锐角)
②把求(-)的三角函数值转变为求的三角函数值
知识点3:引诱公式(四)
Sin(π-α)=Sin
Cos(π-α)=-cosα
Ten(π-α)=-tanα
知识点4:引诱公式(五)
sin( )cos;cos( )sin
22
知识点5:引诱公式(六)
.
.
sin( )cos;cos( )sin
22
一、正弦函数余弦函数的象
1)函数y=sinx的象
第一步:在直角坐系的x上任取一点O1,以O1心作位,从个与x的交
A起把分红n(里n=12)(里n=12)等份(.
:取自量x—弧度制下角与数的).
第二步:在位中画出于角0,
,,
2
,⋯,2π的正弦正弦(等价于“列表”).
6
3
把角x的正弦向右平行移,使得正弦的起点与
x上相的点x重合,正弦的
点就是正弦函数象上的点(等价于“描点”
).
第三步:.用圆滑曲把些正弦的点起来,就获得正弦函数y=sinx,x∈[0,
2π]的象.
依据相同的同名三角函数相等,把上述象沿着x向右和向左地平行移,
每次移的距离2π,就获得y=sinx,x∈R的象.
把角x(xR)的正弦平行移,使得正弦的起点与x上相的点x重合,正弦
的点的迹就是正弦函数y=sinx的象.
.
.
2)余弦函数y=cosx的图象
用几何法作余弦函数的图象,能够用
“反射法”将角x的余弦线“直立”[把坐
标轴向下平移,过O1作与x轴的正半轴成
角的直线,又过余弦线O1A的终点A作
4
x轴的垂线,它与前面所作的直线交于A′,那么O1A与AA′长度相等且方向同时为正,
我们就把余弦线O1A“直立”起来成为AA′,用相同的方法,将其余的余弦线也都“直立”
,使起点与x轴上相应的点x重合,则终点就是余弦函数图象上的点.]
也能够用“旋转法”把角的余弦线“直立”(把角x的余弦线O1M按逆时针方向旋转到
2
O1M1地点,则O1M1与O1M长度相等,方向相同.)依据引诱公式cosxsin(x),还能够把正
2
弦函数x=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象.
2
(1)正切函数y=tanx的图像:
.