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1。通过详细函数,让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论,体验数学概念的建立过程,培养其抽象的概括才能.
2。理解、掌握函数奇偶性的定义,奇函数和偶函数图像的特征,并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性.
3。在经历概念形成的过程中,培养学生归纳、抽象概括才能,体验数学既是抽象的又是详细的.
任务分析
这节内容学生在初中虽没学过,但已经学****过具有奇偶性的详细的函数:正比例函数y=kx,反比例函数,(k≠0),二次函数y=ax2,(a≠0),故可在此根底上,引入奇、偶函数的概念,,以增加直观性,这样更符合学生的认知规律,同时为阐述奇、,让学生理解:奇函数、偶函数的定义域是关于原点对称的非空数集;对于在有定义的奇函数y=f(x),一定有f(0)=0;既是奇函数,又是偶函数的函数有f(x)=0,x∈,让学生理解:奇函数、偶函数的矛盾概念-——,引导学生拓展延伸,可以获得理想效果.
教学设计
一、问题情景
1。观察如下两图,考虑并讨论以下问题:
(1)这两个函数图像有什么共同特征?
(2)相应的两个函数值对应表是如何表达这些特征的?
,当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值一样.
对于函数f(x)=x2,有f(-3)=9=f(3),f(-2)=4=f(2),f(-1)=1=f(1).事实上,对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x).此时,称函数y=x2为偶函数.
(x)=x和f(x)=的图像,并完成下面的两个函数值对应表,然后说出这两个函数有什么共同特征.
,反映在解析式上就是:当自变量x取一对相反数时,相应的函数值f(x)也是一对相反数,即对任一x∈R都有f(-x)=-f(x).此时,称函数y=f(x)为奇函数.
二、建立模型
由上面的分析讨论引导学生建立奇函数、偶函数的定义
1。奇、偶函数的定义
假设对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫作奇函数.
假设对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫作偶函数.
,组织学生讨论
(1)假设定义在R上的函数f(x)满足f(-2)=f(2),那么f(x)是偶函数吗?
(f(x)不一定是偶函数)
(2)奇、偶函数的图像有什么特征?
(奇、偶函数的图像分别关于原点、y轴对称)
(3)奇、偶函数的定义域有什么特征?
(奇、偶函数的定义域关于原点对称)
三、解释应用
[例 题]
1。判断以下函数的奇偶性.
注:①标准解题格式;②对于(5)要注意定义域x∈(-1,1].
2。:定义在R上的函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x(1+x),求f(x)的表达式.
解:(1)任取x<0,那么-x>0,∴f(-x)=-x(1-x),
而f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=x(1-x).
(2)当x=0时,f(-0)=-f(0),∴f(0)=-f(0),故f(0)=0.
3.:函数f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上是减函数,判断f(x)在(0,+∞)上是增函数,还是减函数,并证明你的结论.
解:先结合图像特征:偶函数的图像关于y轴对称,猜测f(x)在(0,+∞)上是增函数,证明如下:
任取x1>x2>0,那么-x1<-x2<0.
∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,∴f(-x1)>f(-x2).
又f(x)是偶函数,∴f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
考虑:奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系?
[练****br/>1.:函数f(x)是奇函数,在[a,b]上是增函数(b>a>0),问f(x)在[-b,-a]上的单调性如何.
(x)=-x3|x|的大致图像可能是( )
3。函数f(x)=ax2+bx+c,(a,b,c∈R),当a,b,c满足什么条件时,(1)函数f(x)是偶函数.(2)函数f(x)是奇函数.
(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数,并且f(x)+g(x)=x(x+1),求f(x),g(x)的解析式.
四、拓展延伸
,又是偶函数的函数吗?假设有,有多少个?
2。设f(x),g(x)分别是R上的奇函数,偶函数,试研究:
(1)F(x)=f(x)·g(x)的奇偶性.
(2)G(x)=|f(x)|+g(x)的奇偶性.
∈R,f(x)=a-,试确定a的值,使f(x)是奇函数.
4。一个定义在R上的函数,是否都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和的形式?
点 评
这篇案例设计由浅入深,由详细的函数图像及对应值表,抽象概括出了奇、偶函数的定义,符合学生的认知规律,,深化了学生对奇、、创新才能的培养提供了平台.