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巧用轴对称来解题
根据图形的某些特征,利用轴对称性质,常常能较容易地从图形各元素的对应关系发现其内在联络,找到解题的思路.
一、以角平分线为对称轴来解题
例1如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2AC,AD为∠BAC的平分线,
求证:D在线段AB的垂直平分线上.
分析:因为AD平分∠BAC,所以以AD为对称轴,对△ADC作轴对称变换,那么点C的对称点E必落在BA上,再利用全等关系求解.
解:如图,以AD为对称轴作出△ACD的轴对称图形△AED,由轴对称图形的性质可知△ACD≌△AED,得AE=AC,∠AED=∠C=90°,
∵AB=2AC,∴AB=2AE,
∴BE=AE,∴DE是线段AB的垂直平分线.
二、以垂线、中垂线或高线为对称轴来解题
例2 如图2,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,
求证:CD=AB+BD.
分析:以AD为对称轴作出△ABD的对称△AED,那么△ABD≌△AED,AE=AB,∠B=∠AED.
图2
证明:以AD为轴,作△ABD的对称△AED,
那么AB=AE,∠B=∠AEB,ED=DB.
∵∠B=2∠C,
而∠AEB=∠C+∠EAC(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和)
∴∠C=∠EAC,∴AE=CE(等角对等边).
∵CD=DE+CE,∴CD=BD+AB.
三。利用对称巧设方案来解题
例3。在原野上,一个人骑着马从A处出发,他欲使马到河饮水后,再到河饮水,然后返回到A地,如图,他应该怎样走才能使总路程最短?
分析:这个人骑着马走了一周构成了一个封闭的三角形,欲使总路程最短,关键是利用轴对称知识,把三角形的周长转化为两点之间的间隔,利用两点之间线段最短来求解。
解:如图1,(1)作点关于的对称点,(2)作点关于的对称点
,
(3)连结交于D,交于E,(4)连结AD,AE,采取道路。
,在中,是边的中点,是边上的一动点,那么的最小值为_______________________.
解:如图2,作点C关于直线AB的对称点,连结,交AB于点E,此时获得最小值即为如图下的,在中,是边的中点,,,故的最小值为.