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教学设计
黑龙江省实验中学数学组:曾庆占
2009年5月4日
课题
椭圆和标准方程的教学设计
老师
曾庆占
职称
中教一级
教龄
9年
学校
黑龙江省实验中学
课型
新课
教
学
目
标
知识和技能
⑴理解椭圆的画法,理解椭圆的定义及焦点、焦距的概念,能正确推导椭圆的标准方程;
⑵可以运用推导的标准方程和对椭圆的定义的理解直接写出椭圆方程
过程和方法
⑴通过对椭圆方程的推导,培养学生在解析几何中对烦琐问题运算才能,通过培养学生在解题过程中的化繁为简、化零为整的思维方法;
⑵培养学生运动变化的观点,训练学生的动手才能;
⑶通过作图,推导标准方程,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的才能
情感、态度和价值观
⑴通过小组合作,培养学生的协作、互助精神;
⑵感受椭圆曲线美,体验数学中形数互化,获得数形中的辨证思想,形成思维的发散和集中,体验在解题过程中感悟探究的快乐和满足,增强学****兴趣
教学重点
椭圆的定义和椭圆的标准方程
教学难点
椭圆标准方程的推导
教学方法
小组合作探究的方法
教学手段
多媒体计算机
教学过程
老师活动和学生活动
设计意图
1.【情景设置】
提出问题:中国神州6号飞船发射成功,顺利进入预定轨道运行。请问:神州6号飞船绕什么旋转?运行轨迹是什么?(地球、椭圆)
生活中你还见过椭圆形状的物品?请举例说明。
老师提出课题:椭圆的定义和标准方程
2.【几何画板演示】动画演示,并同时显示,当点运动时,
F1
F2
M
的数值,可知点在运动时,
在改变,而的值却始终不变.
老师再次演示,并提出问题,演示过程中,哪些量在变,哪些量不变?
老师顺势提出椭圆应如何定义?
学生考虑后,老师组织学生讨论,给出定义
3.【小组合作,画图探究,形成概念】小组合作后得出:椭圆是到两个定点的间隔之和为常数的点的轨迹。设
老师布置:下面大家自己动手画椭圆,看刚刚所给的定义还有没有其他限制条件?
提出问题引导
学生考虑、作答
寻找出实际生活
中椭圆的例子,
增强感性认识
学生观看演示过程
考虑演示过程中,老师提出的问题
学生尝试给出椭圆的定义。
学生拿出课前
准备好的纸板、
细绳、两枚图钉,
2人一组按课本上
要求画椭圆,并思
让学生拿出课前准备好的纸板、细绳、两枚图钉,2人一组按课本上要求画椭圆,并讨论以下问题:
⑴在纸板上作图说明了什么?
⑵在绳长不变的条件下,改变两个图钉之间的间隔,画出的椭圆有何变化?当两个图钉重合在一起,画出的图形是什么?当两个图钉之间的间隔等于绳长时,画出的图形是什么?当两个图钉固定,能使绳长小于两图钉之间的间隔吗?能画出图形吗?
⑶完善椭圆定义
学生:独立考虑→小组讨论→互为补充→共同交流
老师:启发诱导→点拨释疑→鼓励完善
演示课件:展示三种不同情形轨迹,得出:平面内到两定点的间隔的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点之间的间隔叫做椭圆的焦距.
4.【椭圆标准方程的推导】
老师提问:求曲线方程的一般步骤是什么?
⑴求曲线方程的一般步骤:①建系,设点;②列式;③代入坐标;④化简;⑤检验
⑵老师提问:如何建系,使求出的方程最简?
O
F1
F2
O
F1
F2
由各小组讨论,请小组代表汇报成果,由此选定以下两种方案
考老师布置的问题
学生独立考虑互相交流讨论
完善定义
学生通过观看演示加深对定义的理解
学生考虑答复
学生考虑、讨论研究建系方案
学生分成小组根据自己组选定的建系方案动手推导椭圆的标准方程
方案一方案二
选定方案一,由各小组自己完成设点、列式、代入坐标三个步骤,重点讨论第四个步骤:如何化简?化简的目的是什么?用什么方法化简?
⑴建系、设点:以所在直线为轴,以的中点为原点建立直角坐标系。设是椭圆上任意一点,设,那么
⑵列式:
⑶代入坐标:
⑷化简:(师生共同完成)
两边平方,得:
两边平方,得:
整理得:
老师:考虑前面设,观察图形能找到图形中的所表示的线段和关系吗?
在老师指导下,自己化简
学生答复,并在图形中标出来即为的斜边和直角边,另一直角边长为
学生讨论给出结果
老师总结:即令,那么方程可化简为:,联想到直线的截距式方程,可整理为,考虑的大小关系如何?得出
老师指出:方程()叫做椭圆的标准方程,焦点在轴上,焦点,且
讨论:选定方案二,方程的形式又如何呢?
得出:()为椭圆的另一个标准方程
判断:和的焦点位置,考虑如何由方程判断其焦点在轴上还是在轴上?
学生讨论得出:看的分母大小,哪个分母大就在哪一条轴上。
5.【学生归纳总结】
老师布置:根据上面所学知识,完成下表
不同点
标准方程
()
()
图形
引导学生考虑
自己完成表格
稳固定义和概念
让学生学会用定
焦点坐标
一样点
定义
的关系
焦点位置的断定
6.【例题讲解】
例1⑴判断以下方程的焦点位置,并指出焦点坐标:
;;()
⑵假设方程表示焦点在轴上的椭圆,那么实数的取值范围是()
(A)(B)(C)(D)
答案:⑴轴上,;轴上,;轴上,⑵B
例2求适宜以下条件的椭圆的标准方程:
⑴两个焦点的坐标分别是,椭圆上一点到两焦点的间隔的和为10;
⑵两个焦点的坐标分别是,并且椭圆经过一点
义和待定系数法
求椭圆的标准方
程
答案:⑴;⑵
7.【课堂练****br/>的2、3⑴⑵⑶
备用练****题:请以为标准方程,个小组仿照例题的形式自己设计一个题目,两个小组交换审查并作答
8.【课堂小结】
⑴椭圆的定义及标准方程;
⑵标准方程中确实定及的关系
⑶椭圆的定义的形成及方程的推导,蕴含着运动变化的观点和研究曲线的根本方法:坐标法
9.【作业布置】<br****题8。1的1⑵、2、4
10.【随堂练****br/>,观察从不同的角度倾斜时,水面边界限的变化
2.,,那么点的轨迹是________________(线段)
,(0,4)