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空间向量立体几何知识点集锦
一、空间向量的加法和减法:
求两个向量差的运算称为向量的减法,:在空间任取一点,作,,那么.
求两个向量和的运算称为向量的加法:在空间以同一点为起点的两个向量、为邻边作平行四边形,那么以起点的对角线就是和的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法那么.
二、实数和空间向量的乘积是一个向量,,和方向一样;当时,和方向相反;当时,为零向量,.
三、假设表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量和任何向量都共线.
四、向量共线充要条件:对于空间任意两个向量,,的充要条件是存在实数,使.
五、平行于同一个平面的向量称为共面向量.
六、向量共面定理:空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对,,使;或对空间任一定点,有;或假设四点,,,共面,那么.
七、两个非零向量和,在空间任取一点,作,,那么称为向量,的夹角,:.
八、对于两个非零向量和,假设,那么向量,互相垂直,记作.
九、两个非零向量和,那么称为,的数量积,.
十、等于的长度和在的方向上的投影的乘积.
十一、假设,为非零向量,为单位向量,那么有;
;,,;
;.
十二、空间向量根本定理:假设三个向量,,不共面,那么对空间任一向量,存在实数组,使得.
十三、假设三个向量,,不共面,那么所有空间向量组成的集合是
3
.这个集合可看作是由向量,,生成的,称为空间的一个基底,,,.
十四、设,,为有公共起点的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底),以,,的公共起点为原点,分别以,,的方向为轴,轴,,一定可以把它平移,使它的起点和原点重合,,,,称作向量在单位正交基底,,下的坐标,,向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标.
十五、设,,那么.
..
.假设、为非零向量,那么.
假设,那么..
.
,,那么.
十六、,向量表示直线的方向向量,那么对于直线上的任意一点,有,这样点和向量不仅可以确定直线的位置,还可以详细表示出直线上的任意一点.
十七、,它们的方向向量分别为,.为平面上任意一点,存在有序实数对使得,这样点和向量,就确定了平面的位置.
十八、直线垂直,取直线的方向向量,那么向量称为平面的法向量.
十九、假设空间不重合两条直线,的方向向量分别为,,那么
,.
二十、假设直线的方向向量为,平面的法向量为,且,那么
,.
二十一、假设空间不重合的两个平面,的法向量分别为,,那么
,.
二十二、设异面直线,的夹角为,方向向量为,,其夹角为,那么有.
二十三、设直线的方向向量为,平面的法向量为,和所成的角为,和的夹角为
3
,那么有.
二十四、设,是二面角的两个面,的法向量,那么向量,的夹角(或其补角),那么.
二十五、在直线上找一点,过定点且垂直于直线的向量为,那么定点到直线的间隔为.
二十六、点和点之间的间隔可以转化为两点对应向量的模计算.
二十七、点是平面外一点,是平面内的一定点,为平面的一个法向量,那么点到平面的间隔为