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数列知识点总结
定义:(为常数),
等差中项:成等差数列
前项及
性质:是等差数列
(1)若,则
(2)数列仍为等差数列,仍为等差数列,公差为;
(3)若三个成等差数列,可设为
(4)若是等差数列,且前项及分别为,则
(5)为等差数列(为常数,是关于的常数项为0的二次函数)。的最值可求二次函数的最值;或者求出中的正、负分界项,(即:当,解不等式组可得达到最大值时的值;当,由可得达到最小值时的值.)
(6)项数为偶数的等差数列,有
(7)项数为奇数的等差数列,有
定义:(为常数,),.
等比中项:成等比数列,或.
前项及:
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性质:是等比数列
(1)若,则
(2)仍为等比数列,公比为.
◆由求。()
例1:数列,,求
解时,,∴
时, ①
①—②得:,∴,∴
[练习]数列满足,求
注意到,代入上式整理得,又,∴是等比数列,故。时,
◆由递推公式求
(1)累加法()
例2:数列中,,求
解:累加得
(2)累乘法()
例3:数列中,,求
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解:,∴又,∴.
(3)构造新数列(构造的新数列必为等比数列或等差数列)
▼取倒构造(等于关于的分式表达)
例4:,求
解:由已知得:,∴
∴为等差数列,,公差为,∴,
▼同除构造
例5:。
解:对上式两边同除以,得,则为等差数列,,公差为,∴,∴。
例6:,求。
解:对上式两边同除以,得,令,则有,累加法可得,则
,即。
例7:。
解:对上式两边同除以,得,即,则为等差数列,
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,公差为2,∴,∴。
▼取对构造(涉及的平方)
例8:
解:对上式两边取对数,得,由对数运算性质得
两边同时加,整理得则为公比为2的等比数列,由此推知通项公式。
▼等比型(常用待定系数)
例9:。
解:待定系数法设上式可化为如下形式:,整理可知,则,∴原式可化为,则为公比=3的等比数列,由此推知通项公式。
例10:,求。
解:待定系数法设上式可化为如下形式:,整理可知,得,∴原式可化为,则为公比=4的等比数列,由此推知通项公式。
▼提公因式
例11:。
解:上式变形为,等号左边提公因式得,
两边取倒数得,为公差为1的等差数列,由此推知通项公式。
例12:,求。
解:上式变形为,令,则
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由累加法可求得通项公式。
(1)分组求及(分组后用公式)
例13:求及。
解:原式=
(2)裂项相消(把数列各项拆成两项或多项之及,使之出现成对互为相反数的项.)
常用:;;。
(3)错位相减(通项可表示为等差乘等比的形式)
例14: 求 。 解:①
时,,时,
[练习]求数列。(答案:)
(4)倒序相加(前后项之及为定值。把数列的各项顺序倒写,再及原来顺序的数列相加.)
相加
(根据项的正负,分类讨论)
例15:已知数列的通项,,求的前项及。
解:设数列的前项及为,
时,
时,