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抽象函数问题
抽象函数是指没有明确给出详细的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数,它是中学数学中的一个难点,因为抽象,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开。
一。求某些特殊值
这类抽象函数一般给出定义域,某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法",即在其定义域内令变量取某特殊值而获解,关键是抽象问题详细化。(精品文档请下载)
例1定义在R上的函数满足:
且,求的值。
例2函数对任意实数都有
,且当时,
,求在上的值域.
二。求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性,去掉“”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别注意函数定义域的作用。(精品文档请下载)
例3是定义在()上的偶函数,且在(0,1)上为增函数,满足
,试确定的取值范围.
例4是定义在上的减函数,假设对恒成立,务实数的取值范围.
三。解不等式
这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值,再通过函数的单调性去掉函数符号“",转化为代数不等式求解。(精品文档请下载)
例5函数对任意有
,当时,
2
,,求不等式的解集。

例6设定义在R上且对任意的有
,求证:是周期函数,并找出它的一个周期。
例7对一切,满足
,且当时,,求证:(1)时,(2)在R上为减函数。

抽象函数的综合问题一般难度较大,常涉及到多个知识点,抽象思维程度要求较高,解题时需把握好如下三点:一是注意函数定义域的应用,二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”,三是利用函数单调性去掉函数符号“”。(精品文档请下载)
例8设函数定义在R上,当时,,且对任意,有
,当时
。
(1)证明;
(2)证明:在R上是增函数;
(3)设,假设,求满足的条件。
例9定义在()上的函数满足
,对任意都有
,
(2)当时,有,
(1)试判断的奇偶性;(2)判断的单调性;
(3)求证
.