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中央C之上的A作为440Hz时,中央C的频率约赫兹。详见音高(pitch)。另外,如果以纯律计算,中央C的频率是2
61HZ。
一些解释:
Octave0-9表示八度区。C-D-E-F-G-A-B为C大调七个主音:doremifasolasi(简谱记为1到7)。科学音调记号法(scientificpitchnotation)就是将上面这两者合在一起表示一个音,比如A4就是中音la,频率为440Hz。C5则是高音do(简谱是1上面加一个点)。
升一个八度也就是把频率翻番。A5频率880Hz,正好是A4的两倍。一个八度区有12个半音,就是把这两倍的频率间隔等比分为12,所以两个相邻半音的频率比是2开12次方,也即大约。这种定音高的办法叫做twelve-toneequaltemperament,简称12-TETo
两个半音之间再等比分可以分100份,每份叫做一音分(cent)。科学音调记号加上音分一般足够表示准确的音高了。比如A4+30表示比440Hz高30音分,可以算出来具体频率是Hz。
A4又称A440,是国际标准音高。钢琴调音师或者大型乐队乐器之间调音都用这个频率。C4又称MiddleC,是中音八度的开始。有一种音高标定方法是和C4比较相隔的半音数,比方B4就是+11,表示比C4高11个半音。
MIDInotenumberp和频率f转换关系:p二69+12xlog2(f/440)。这实际上就是把C4定为MIDInotenumber60,然后每升降一个半音就加减一个号码。
可以看到E-F和B-C的间隔是一个半音,而七个主音别的间隔都是两个半音,也叫一个全音。
标准钢琴琴键有大有小,大的白色琴键是主音,小的黑色琴键是主音升降半音后的辅音(图)。一般钢琴是88个琴键,从A0到C8o知道了上面这些,看到钢琴键盘应该就马上能找到MiddleC了,如下
音高间隔(音程)有各类说法,某些间隔的两个音同时发出来会比较令人身心愉快,比如频率比3:2的perfectfifth在各类乐曲都会广泛用作和弦。具体音高间隔名称:
间隔半音数
间隔名
大致频率比
0
perfectunison完全一度
1:1
1
minorsecond小二度
16:15
2
majorsecond大二度
9:8
3
minorthird小三度
6:5
4
majorthird大三度
5:4
5
perfectfourth完全四度
4:3
6
augmentedfourth增四度
45:32
diminishedfifth减五度
64:45
7
perfectfifth完全五度
3:2
8
minorsixth小八度
8:5
9
majorsixth大八度
5:3
10
minorseventh小七度
16:9
11
majorseventh大七度
15:8
12
perfectoctave完全八度
2:1
人的听觉和很多音乐设备的频率范围是20Hz-20000Hz,但是成年人一般只能听到30-15000Hz,所以上面表格的频率范围已经足够用了。
音咼和频率(二)
乐理2009-11-0116:29阅读51评论0
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上次说到现在最通用的音阶是把一个八度的倍频等比分为12份,那么为什么要这么做呢?在开始讲这个之前,先看两条人民群众总结的规律:
人耳对音高的感觉主要取决于频率比,而不是频率差。比如220Hz到440Hz的音差,和440Hz到880Hz的音差,一般人认为是一样大的音差。
如果两个音的频率比值很接近小整数比,那么这两个音同时发出来人会感觉很和谐。比如
440Hz和660Hz的两个音,频率比值是2:3,—般叫做完全五度,同时发出来很和谐。
至于为什么有以上的规律,这个问题太深刻了,折磨了一代又一代的音乐家、数学家、物理学家、心理学家、生理学家、哲学家……这里不深入说了,就把它们当作公理好了。下面是某个测试人对各种频率比评价的结果,峰越高表示人觉得越和谐。可以看见,1:11:2是很和谐的,接下来是2:33:53:4等小整数比。(这张图的出处不祥,应该是某个论文或者教科书。)
有了上述公理,怎么样来定音阶?早在公元前,伟大的毕达哥拉斯就发现了小整数频率比很和谐的规律。首先最简单的整数比是1:2,接下来分别是2:3和3:4,于是他先定出四个音(按照现在的写法):F:C=4:3,G:C=3:2,高八度C':C=2:1。然后他把F和G之间的间隔9:8叫做一个全音,按照9:8全音间隔填补空档他定下来这样的音阶:
C:C二1:1二
D:C二9:8二
E:C二81:64二
F:C二4:3二
G:C二3:2二
A:C二27:16二
B:C二243:128二
C':C二2:1二
可以看到E:F和B:C'之间的间隔是256:243二,差不多是9:8的一半,毕达哥拉斯把这种间隔叫做半音。这样定出来的音阶其实已经蛮好用的了,现在把这种用整数比定音的方法叫做纯律(justintonation)。纯律的主要问题是有些音之间的比例很古怪,比如上面的F:D是32:27,非常不和谐。另外,巴赫同学后来出了各种奇怪变调的钢琴曲,而纯律变调之后音阶就变了,于是巴赫就开始鼓吹当时已经建立起来的平均律(equaltemperament)了。
平均律沿用了这种七个基本音的全音阶(diatonicscale)系统,但是让全音刚好等于两个半音,这样无论如何变调,整个音阶只要偏移一下即可,而各个音之间音程不变。我们知道,一个八度之间是5个全音间隔+2个半音间隔,也就是12个半音间隔,于是就一刀切,直接把2等比分12份就是半音间隔了。下面是十二平均律(12-TET)和毕达哥拉斯的纯律的对比:
音程
纯律
十二平均律
C:C
D:C
E:C
F:C
G:C
A:C
B:C
C':C
可以看到,十二平均律和纯律很接近,特别是F:C完全四度和G:C完全五度非常接近应有的整数比4:3和3:2,只相差2个音分(cents)。一般没有受过音乐训练的人对20音分以下的音差已经不敏感;即使专业调音师,不靠仪器的话5个音分也基本是分辨极限了。所以在实际使用中,十二平均律对完全五度这么小的误差是完全可以忽略的。
理论上说,如果把2等比分为别的份数,也可以制造出可用的音阶。一个例子是等比分为29份,这样出来的音阶比12-TET更接近3:2,但是大三度5:4却惨不忍睹,相差很大。一个小细节是有些音程是互补的,比如某个平均律如果很接近G:C3:2完全五度,那么C':G4:3完全四度也同时被搞定。一般人们评价一个平均律,主要看它和大三度、完全五度、大六度的偏差总和(同时搞定的互补音程为小六度、完全四度、小三度),计算表明,比十二平均律更好的下一个音律是十九平均律,接下去更好的分别是31、34和53。可以想象,即使是十九平均律,钢琴键盘也会复杂很多,而且由于多了很多音,不和谐的音高组合也会更多,所以非十二等分的平均律使用很有限,现在一般只局限在理论研究上。
中国古代各类弦乐器五声音阶宫商角徵羽按照五度相生律定音,演奏起来非常优美。五度相生律可以算是纯律的一种,中国人发现这个小整数比的规律应该比毕达哥拉斯早好多年。不过到了现代,特别是键盘乐器的普及以及大型乐队的配合需要,最后还是十二平均律胜出了。
音咼和频率(二)
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乐理2009-11-0116:35阅读37字号:大中小为什么小整数频率比的两个音比较和谐?这个问题,要从乐音的谐波说起。
一般乐器发出的音都不是纯频率的音,而是由好多谐波(harmonic)组成的;其中频率最低的那个通常最强,叫做基音。比如小提琴发出音咼A4的音,指的就是其基音是440Hz,而声波频谱里面同时有二次谐波880Hz、三次谐波1320Hz、四次谐波……等等。不同乐器发出的声音,其谐波强度分布往往完全不同,因此音色(timbre)也就不同(比如高谐波强的话听起来就亮一些)。乐音含有谐波这个特性和小整数比的和音规则有什么关系?以完全五度举例,A4和E5的两个乐音,频率比为2:3,而A4的三次谐波和E5的二次谐波刚好重合,都是1320Hz。相隔完全五度的两个乐音同时听起来比较好听,是不是因为它们大部分的谐波都重合了?
于是就有科学家做实验了。人们发现,把纯频率的音(不含谐波)A4和E5同时发出来听并不怎么好听。还有人用电脑制作了扭曲的乐音,把N次谐波搞成Nlog/log倍)(谐波从2倍拉宽到倍,自然界是没有这种声音的),然后发现谐波重合的扭曲乐音同时听起来还比较和谐,而它们的基音却不是小整数比了。还有一些别的实验,但是结论都是差不多的,就是两个乐音和谐主要是因为他们的谐波重合,转换为数学语言,就是基音必须是小整数比。
为啥谐波重合就好听呢?这是因为,如果谐波不重合但是距离很近,它们就会干涉形成低频率的拍(beat),这种低频拍音嗡嗡作响,非常难听。两个频率距离多近才会形成不好听的拍?人们一般把这个临界距离叫做临界频宽(criticalbandwidth),处于临界频宽之内的两个频率就会互相干涉。这个临界频宽本身是频率的函数,频率越高,临界频宽带也就越宽,如下图所示:
可以看到,临界频宽在低频区是100Hz左右;高频区大约是本身频率的1/6。比如,900Hz的临界频宽是150Hz,这就是说,750-1050Hz频率范围内的音都会和900Hz的音干涉。用音乐术语,1/6频宽介于大二度和小三度之间(上图所示2&3semitones之间),所以在高频区域里,间隔一个或者两个半音的音就会相互干涉形成不愉悦的拍。