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一、空间几何体
(一)空间几何体的种类
多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面
体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的极点。
旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。
其中,这条直线称为旋转体的轴。
(二)几种空间几何体的构造特色
、棱柱的构造特色
:有两个面互相平行,其他各面都是
四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平
行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
图1-1棱
底面是四边形
棱柱四棱
底面是平行四边形
柱平行六
侧棱垂直于底面底面是矩形底面是正方形
面体直平行六面体长方体正四棱柱
棱长都相等
正方体
性质:
Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等;
Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行;
Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等;
S直棱柱侧ch(c是底周长,h是高)
S直棱柱表面=c·h+2S底
V棱柱=S底·h
、棱锥的构造特色
(1)棱锥:有一个面是多边形,其他各面是有一个公共极点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
(2)正棱锥:若是有一个棱锥的底面是正多边形,并且极点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。
Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于极点到截面的距离与极点终究面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比;
Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形;
正棱锥侧面积:
1
(
c
为底周长,h'为斜高)
正棱椎
S
2
ch'
P
体积:V棱椎1Sh(S为底面积,h为高)
D
C
3
正周围体:
O
H
A
B
关于棱长为a正周围体的问题可将它补成一个边长为
2a的正方体问题。
2
对棱间的距离为
2a(正方体的边长)
2
正周围体的高
6a(
2
3
3l正方体体对角线)
正周围体的体积为
2a3(V正方体4V小三棱锥
1
V正方体)
12
3
正周围体的中心终究面与极点的距离之比为
1:3(
1
1
6
l正方体体对角线:l正方体体对角线)
2
、棱台的构造特色
:用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为
棱台。
(1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形;
(2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形;
(3)正棱台的对角面也是等腰梯形;
(4)各侧棱的延长线交于一点。
、圆柱的构造特色
:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其他各边旋转而形成的曲面所围成
的几何体叫圆柱。
(1)上、下底及平行于底面的截面都是等圆;
(2)过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。
:圆柱的侧面张开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。
π··
S圆柱侧面=2rh
(r
为底面半径,
h为圆柱的高
)
S
圆柱全
=2
π
rh+2
π
r
2
V
圆柱
=S
底h=
πr2h
5、圆锥的构造特色
:以直角三角形的素来角边所在的直
旋转轴,其他各边旋转而形成的曲面所围成的几何体
圆锥。
(1)平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面
之比等于极点到截面的距离与极点终究面的距离之
线为
叫做
直径
比;
(2)轴截面是等腰三角形;
(3)母线的平方等于底面半径与高的平方和:
图1-5圆锥
l
2=r2+h2
:圆锥的侧面张开图是以极点为圆心,以母线长为半径的扇形。
6、圆台的构造特色
:用一个平行于底面的平面去截圆锥,我们把截面和底面之间的部分称为
圆台。
⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆;
⑵圆台的截面是等腰梯形;
⑶圆台经常补成圆锥,尔后利用相似三角形进行研究。
S
圆台侧
=
π·(R+r)
·l(r
、R为上下底面
半径)
S
V
圆台全=π·r2+
圆台=1/3(πr
π·R2+π·(R+r)·l
22
+πR+πrR)h(h
为圆台的高)
球的构造特色
:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。
空间中,与定点距离等于定长的点的会集叫做球面,球面所围成的几何体称为球体。7-2球的构造特色
⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面;
⑵截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差:r2=R2–d2★7-3球与其他多面体的组合体的问题
球体与其他多面体组合,包括内接和外切两各种类,解决此类问题的基本思路是:
⑴依照题意,确定是内接还是外切,画出立体图形;
⑵找出多面体与球体连接的地方,找出对球的合适的切割面,尔后做出剖面图;
⑶将立体问题转变成平面几何中圆与多边形的问题;
⑷注意圆与正方体的两个关系:球内接正方体,球直径等于正方体对角线;球外切正方体,球直径等于正方体的边长。
7-4球的面积和体积公式
S球面=4πR2(R为球半径)
V球=4/3πR3
(三)空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积
棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和
圆柱的表面积:S
2rl
2
r2
圆锥的表面积:S
rl
r2
圆台的表面积:S
rl
r2
Rl
R2
球的表面积:S4
R2
扇形的面积公式S扇形
n
R2
1
1
2
表示弧长,r表示半径,
表示弧度)
360
lr=
2
r
(其中l
2
空间几何体的体积
柱体的体积:VS底h
1
锥体的体积:VS底h
3
1
台体的体积:V(S上S上S下S下)h3
球体的体积:V4R3
3
(四)空间几何体的三视图和直观图
正视图:光辉从几何体的前面向后边正投影,获取的投影图。
侧视图:光辉从几何体的左边向右边正投影,获取的投影图。
俯视图:光辉从几何体的上面向右边正投影,获取的投影图。
★画三视图的原则:
正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽相同
注:球的三视图都是圆;长方体的三视图都是矩形
直观图:斜二测画法
斜二测画法的步骤:
(1)平行于坐标轴的线仍旧平行于坐标轴;
(2)平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;
(3)画法要写好
用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图
二、点、直线、平面之间的关系
(一)、立体几何网络图:
⑹
公义
⑴
⑵
⑷
线线平
线面平
面面平
⑶
⑸
⑾
⒀
⑿
⑺
⒁
三垂线定
⑼
⒂
线线垂
线面垂
面面垂
⑽
⒃
三垂线逆定
⑻
1、线线平行的判断:
1)、平行于同素来线的两直线平行。
3)、若是一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面订交,那么这条直线和交线平行。
6)、若是两个平行平面同时和第三个平面订交,那么它们的交线平行。
12)、垂直于同一平面的两直线平行。
2、线线垂直的判断:
7)、在平面内的一条直线,若是和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
8)、在平面内的一条直线,若是和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直。
10)、若素来线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。
(2)垂直于同一平面的两直线平
(1)若直线垂直于平面,则它垂直意一条直线。
补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。
3、线面平行的判断:
2)、若是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
5)、两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
判判定理:
性质定理:
★判断或证明线面平行的方法
⑴利用定义(反证法):lI,则
l∥α(用于判断);
⑵利用判判定理:线线平行线面平行(用于证明);
⑶利用平面的平行:面面平行线面平行(用于证明);
⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。
2线面斜交和线面角:l∩α=A
(简称线面角):若直线与平面斜
交,则平面的斜线与该斜线在平面***影的夹角θ。
:θ∈[0°,90°]
注意:当直线在平面内也许直线平行于平面时,θ=0°;
当直线垂直于平面时,θ=90°图2-3线
4、线面垂直的判断:
⑼若是素来线和平面内的两订交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。
⑾若是两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。
⒁素来线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。
⒃若是两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
判判定理:
性质定理:于平面内任
即:
行。
即:
★判断或证明线面垂直的方法
⑴利用定义,用反证法证明。
⑵利用判判定理证明。
⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线,则另一条直线也垂直与平面。
⑷一条直线垂直于两平行平面中的一个,则也垂直于另一个。
⑸若是两平面垂直,在一平面内有素来线垂直于两平面交线,则该直线垂直于另一平面。★
⑴斜线定理:从平面外一点向这个平面所引的所有线段中,斜线相等则射影相等,斜线越长则射影越长,垂线段最短。
如图:
⑵三
垂线定
理
及其逆定理
已知PO⊥α,斜线PA在平面α内的射影为OA,a是平面
图2-7斜线定理
α内的一条直线。
①
三垂线定理:若a⊥OA,则a⊥PA。即垂直射影则
垂
直斜线。
②
三垂线定理逆定理:若a⊥PA,则a⊥OA。即垂直
斜
线则垂直射影。
⑶三垂线定理及其逆定理的主要应用
图2-8三垂线定理
①
证明异面直线垂直;
②
作出和证明二面角的平面角;
③
作点到线的垂线段。
5、面面平行的判断:
⑷一个平面内的两条订交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行。
⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。
6、面面垂直的判断:
⒂一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。
判判定理:
性质定理:
⑴若两面垂直,则这两个平面的二面角的平面角为
90°;
(2)
(3)
图2-10
面面垂直性质2
4)
图2-11面面垂直性质3
(二)、其他定理:
1)确定平面的条件:①不公线的三点;②直线和直线外一点;③订交直线;
2)直线与直线的地址关系:订交;平行;异面;
直线与平面的地址关系:在平面内;平行;订交(垂直是它的特别情况);
平面与平面的地址关系:订交;;平行;
(3)等角定理:若是两个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等;
若是两条订交直线和别的两条订交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;
(4)射影定理(斜线长、射影长定理):从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,
射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也较长;反之,斜线段相等
的射影相等;斜线段较长的射影也较长;垂线段比任何一条斜线段都短。
(5)最小角定理:斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面***影所成的角。
6)异面直线的判断:①反证法;②过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内但是该点的直线是异面直线。
7)过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。
8)若是—直线平行于两个订交平面,那么这条直线平行于两个平面的交线。
(三)、唯一性定理:
1)过已知点,有且只能作素来线和已知平面垂直。
2)过已知平面外一点,有且只能作一平面和已知平面平行。
3)过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。
四、空间角的求法:(所有角的问题最后都要转变成解三角形的问题,特别是直角三角形)
(1)异面直线所成的角:经过直线的平移,把异面直线所成的角转变成平面内订交直线所
成的角。异面直线所成角的范围:0o
90o;
(2)线面所成的角:①线面平行或直线在平面内:线面所成的角为0o;②线面垂直:线面
所成的角为90o;
③斜线与平面所成的角:范围0o90o;即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。
线面所成的角范围0o
90o
3)二面角:要点是找出二面角的平面角。方法有:①定义法;②三垂线定理法;③垂面法;
二面角的平面角的范围:0o180o;
五、距离的求法:
1)点点、点线、点面距离:点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们第一要找到表示距离的线段,尔后再计算。
注意:求点到面的距离的方法:
①直接法:直接确定点到平面的垂线段长(垂线段一般在二面角所在的平面上);②转移法:转变成另一点到该平面的距离(利用线面平行的性质);③体积法:利用三棱锥体积公式。
2)线线距离:关于异面直线的距离,常用方法有:
①定义法,要点是确定出a,b的公垂线段;
②转变成线面距离,即转变成a与过b而平行于a的平面之间的距离,要点是找出或构造出这个平面;③转变成面面距离;
(3)线面、面面距离:线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离经常互相转变;
六、常用的结论:
(1)若直线l在平面内的射影是直线l,直线m是平面内经过l的斜足的一条直线,
l与
l
所成的角为
1,l
与m所成的角为
2,
l与m所成的角为
,则这三个角之间的关系是
cos
cos
1cos
2;
2)如何确定点在平面的射影地址:①Ⅰ、若是一个角所在平面外一点到角两边距离相等,那么这点在平面上的射影在这个
角的均分线上;
Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线,若是斜线和这个角的两边夹角相等,
那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的均分线所在的直线上;Ⅲ、若是平面外一点到平面上两点的距离相等,则这一点在平面上的射影在以这两点
为端点的线段的垂直均分线上。
②垂线法:若是过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直,那么这一点在这平面上
的射影在过斜足且垂直于平面内直线的直线上(三垂线定理和逆定理);
③垂面法:若是两平面互相垂直,那么一个平面内任一点在另一平面上的射影在这两面
的交线上(面面垂直的性质定理);
④整体法:确定点在平面的射影,可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影。
(3)在周围体ABCD中:
①若
AB
CD,BC
AD
,则
AC
BD;且
A在平面
BCD上的射影是
BCD的垂心。
②若
AB
AC
AD,则
A在平面
BCD上的射影是
BCD的外心。
③若
A到
BC,CD,BD
边的距离相等,则
A在平面
BCD上的射影是
BCD的内心。
(4)异面直线上两点间的距离公式:若异面直线所成的角为
,它们公垂线段AA'的长为d,在a,b上分别取
E
A
一点E,F,设A'E
m,AFn;
E
A
则EF
d2
m2
n2
2mncos
F
(若是
E'AF为锐角,公式中取负号,若是
E'AF为钝,公式中取正号)