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学年第二学期使用班级级
学院
班级
学号
姓名
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
得分
一、填空题(此题4小题,每空3分
,满分12
分,把正确答案填在题后的横线上)
1
x2
3
3
x
dx
f(x,y)dy
_____________________。
1、互换积分序次
0
f(x,y)dydx
2
0
1
0
2、z
esinxy,则dz
__________________。
3、设S:x2
y2
z2
R2,则
x2ds
__________。
S
4、设某二阶常系数齐次线性微分方程以
y
C1ex
C2e3x为通解,则该二阶常系数齐次线性微
分方程为________________.
二、选择题(此题共
3小题,每题3分,满分9分,每题给出四个选项
,把正确答案填在题后的括
号内)
1、设常数k
0,则级数
(
1)nk
n
[
]
n1
n2
(A)绝对收敛;(B)条件收敛;(C)发散;(D)敛散性与k的取值相关。
2、函数fx,y
x
2
xy
y
2,
x2
y2
0
[
在原点(0,0)处
]
0,
x2
y2
0
(A)连续,偏导数存在;(B)连续,但偏导数不存在;
(C)不连续,但偏导数存在;(D)不连续,偏导数也不存在。
3、设V:x2
y2
z2
R2,则
x2
y2
z2dv为
[
]
V
(A)2R4
;(B)R4;(C)4R4
;(D)2R4.
3
3
三、计算(每题6分,共30分)
1、设z
1
f(xy)yg(xy),此中f,g拥有二阶连续的导数,求
2z
.
x
xy
2、计算I
(x2
y2
2y)dxdy,此中D是由圆x2
y2
2x围成的平面地区.
D
3、求(exsinyyx)dx(excosyy)dy,此中L为圆周y2axx2上从点A(2a,0)
L
到点O(0,0)的一段弧。
4、求曲面ezzxy3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程。
5、求幂级数
n2
1xn的收敛域与和函数。
n1
n
四、解答以下各题(此题共4小题,每题每题6分,共24分)
1、设函数z
z(x,y)由F(x
z,y
z)
0确立,求
z.
y
x
x
2、求函数zxe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,1)的方向的方导游数。
3、设yy(x)知足方程y3y2y2ex,且其图形在点(0,1)与曲线yx2x1相
切,求函数y(x).
4、将函数f(x)x(1x1)睁开成以2为周期的傅立叶级数.
五、(此题满分8分)求函数zx2y212x16y在地区x2y225上的最大值与最小值.
六、(此题满分
9分)已知曲线积分
[
ex
2
xydx
xdy与路径没关,且(0)0
。
()]
()
L
(1)求(x);
(1,1)
2
(x)]ydx
(x)dy的值.
(2)计算[ex
(0,0)
七、(此题满分8分)计算
axdydz
(z
a)2dxdy,此中
为下半球面za2
x2
y2
x2
y2
z2
的下侧,a为大于零的常数.
高等数学(下)期末试卷(A)
参照答案
一、填空题:
1
dy
3
2y
f(x,y)dx;2、esinxycosxy(ydx
xdy);
1、
y
0
3、4R4
;4、y
2y3y
0。
3
二、选择题:
1、B;
2、C;
3
、B
三、计算:
1、解:
z
1
f(xy)
y
(xy)
yg(x
y)
(3
分)
x
x
2
f
x
2z
yf
(xy)
g(x
y)
yg
(x
y)。
(3
分)
xy
2、解:
依据对称性,
(x2
y2
2y)d
(x2
y2)d
,(2
分)
D
D
作极坐标变换
x
rcos
,则
,0
r
2cos
,(2分)
y
rsin
2
2
原式
2
d
2cos
r3dr
4
2cos4
d
8
2cos4
d
8I4
0
2
2
0
8
3
1
3
(2分)
4
2
2
。
2
3、解:
增添直线段L1:OA,则
原式
(
L1
L1
)(exsiny
y
x)dx
(excosy
y)dy
(4分)
L
dxdy
2a
a2
2a2。
(2分)
xdx
D
0
2
4、解:
F(x,y,z)
ez
z
xy
3,
则
Fx
y,Fy
x,
Fz
ez
1,
n
{y,x,ez
1}
(2,1,0)
{1,2,0},
(4
分)
所以所求切平面为
(x
2)
2(y1)0,
即x
2y
4
0。
(1
分)
所求的法线方程为
x2
y
1
z
0。
(1分)
5、解:
1
2
0
由于lim|an
1|
1,所以幂级数的收敛半径为
R
1
,
an
又由于当x
1
时级数发散,所以该幂级数的收敛域为
(-1,1)。
(2分)
n
2
1xn=
nxn
1xn=x
nxn1dx
x
xn1
dx
x
n1
n
n1
n1n
0n1
0
n1
x
x
x
1
dx
x
ln(1
x),(1
x
1)。
(4分)
1
x
01
x
(1
x)2
四、解答以下各题:
1、解:
设
(
,
,
)
F
(
x
z,
y
z),
x
yz
y
x
x
F1
F2(
z
),
z
F1
1
F21,
(3分)
x2
y
x
故
z
x
x2yF1
yzF2
。
(3分)
x
z
x2F1
xyF2
2、解:
PQ
{1,
1},|PQ|
2,(1分)
l
{cos
,sin
}
{
1,
1
},
(2分)
2
2
z
e2y,
z
2xe2y,(2分)
x
y
z
zcos
zsin
1
z
1
z
l
x
y
2
x
2
y
1
e2y
1
2xe2y
1
(1
2x)e2y
2
2
2
函数z
xe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,
1)的方向的方导游数为
1
(1
2x)e2y
2(2分)
2
(1,0)
2
3、解:
由条件知y
y(x)知足y(0)
1,
y(0)
1。(1分)
由特点方程r2
3r
2
0
r1
1,r2
2,