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高中数学必修1知识网络
会集
函数
附:
一、函数的定义域的常用求法:
1、分式的分母不等于零;
2、偶次方根的被开方数大于等于零;
3、对数的
真数大于零;
4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于
1;5、三角函数正
切函数
y
tanx中
x
k
(k
Z);余切函数
y
cotx中;6、若是函数是由实质
2
意义确定的剖析式,应依照自变量的实质意义确定其取值范围。
二、函数的剖析式的常用求法:
1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、
配方法
三、函数的值域的常用求法:
1、换元法;2、配方法;3、鉴识式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调
性法;7、直接法
四、函数的最值的常用求法:
、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法
五、函数单调性的常用结论:
1、若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数,则f(x)g(x)在这个区间上也
为增(减)函数
2、若f(x)为增(减)函数,则f(x)为减(增)函数
3、若f(x)与g(x)的单调性同样,则yf[g(x)]是增函数;若f(x)与g(x)的单
调性不一样,则yf[g(x)]是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性同样,偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等
式、作函数图象。
六、函数奇偶性的常用结论:
1、若是一个奇函数在x0处有定义,则f(0)0,若是一个函数yf(x)既是
奇函数又是偶函数,则f(x)0(反之不行立)
2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。
4、两个函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,
那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函
数。
5、若函数f(x)的定义域对于原点对称,则f(x)能够表示为
f(x)
1[f(x)f(x)]
1[f(x)f(x)],该式的特点是:右端为一个奇函数和
2
2
一个偶函数的和。
表
指数函数yax
对数数函数
a0,a1
1
ylogaxa0,a1
定
义
域
值
域
图
象
过定点(0,1)过定点(1,0)
减函数增函数减函数增函数
性
质
表2幂函数yx(R)
奇函数
偶函数
第一象
过定点
减函数
增函数
限性质
(01,)
高中数学必修2知识点
一、直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α
180°
(2)直线的斜率
①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即ktan。斜率反响直线与轴的倾斜程度。
当0,90时,k0;当90,180时,k0;当90时,k不存在。
②过两点的直线的斜率公式:ky2y1(x1x2)
x2x1
注意下面四点:(1)当x1x2时,公式右边没心义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
k与P1、P2的序次没关;(3)今后求斜率可不经过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率获取。
3)直线方程
①点斜式:yy1k(xx1)直线斜率k,且过点x1,y1
注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,
因l上每一点的横坐标都等于x1,因此它的方程是x=x1。②斜截式:ykxb,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
③两点式:
y
y1
x
x1
(x1
x2,y1y2)直线两点x1,y1,x2,y2
y2
y1
x2
x1
④截矩式:x
y
1
a
b
,与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为
其中直线l与x轴交于点(a,0)
a,b。
By
C
0(,
不全为
)
⑤一般式:Ax
A
B
0
注意:○1各式的合用范围
○2
特其余方程如:
(a为常数);
平行于x轴的直线:y
b(b为常数);
平行于y轴的直线:
x
a
5)直线系方程:即拥有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
平行于已知直线A0xB0yC00(A0,B0是不全为0的常数)的直线系:
A0x
B0y
C
0(C为常数)
(二)过定点的直线系
(ⅰ)斜率为k的直线系:
(ⅱ)过两条直线l1:A1x
为
y
B1y
y0
C1
kx
0,
x0l2
,直线过定点
:A2xB2yC2
x0,y0;
0的交点的直线系方程
A1x
B1y
C1
A2x
B2y
C2
0(
为参数),其中直线
l2
不在直线系中。
(6)两直线平行与垂直
当l1:yk1xb1,l2:y
k2x
b2时,
l1//l2
k1
k2,b1
b2
;l1
l2
k1k2
1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
(7)两条直线的交点
1
1
1
1
0
l2:A2xB2yC2
0订交
l
:Ax
By
C
交点坐标即方程组
A1x
B1y
C1
0的一组解。
A2x
B2y
C2
0
方程组无解
l1//l2
;
方程组有无数解
l1与l2重合
(8)两点间距离公式:
设
A(x1,y1),(Bx2,y2)是平面直角坐标系中的两个点,
则|AB|
(x2x1)2
(y2
y1)2
,y0到直线l1:AxBy
C0的距离d
(9)点到直线距离公式:
一点Px0
By0C
Ax0
A2
B2
10)两平行直线距离公式
在任素来线上任取一点,再转变成点到直线的距离进行求解。
二、圆的方程
1、圆的定义:平面内到必然点的距离等于定长的点的会集叫圆,定点为圆心,定长
为圆的半径。
2、圆的方程
(1)标准方程x
2
y
2
r2,圆心a,b
,半径为r;
a
b
(2)一般方程x2
y2
Dx
Ey
F
0
当D2
E2
4F
0
时,方程表示圆,此时圆心为
D,
E,半径为r
1
D2
E2
4F
2
2
2
当D2
E2
4F
0
时,表示一个点;
当D2
E2
4F0时,方程不表示任何图
形。
3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的
标准方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
其余要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的地址。
3、直线与圆的地址关系:
直线与圆的地址关系有相离,相切,订交三种情况,基本上由以下两种方法判断:
(1)设直线l:AxBy
C
0,圆C:xa
2
yb2
r2,圆心Ca,b到l的距离为
d
Aa
BbC,则有d
r
l与C相离;d
r
l与C相切;dr
l与C订交
A2
B2
(2)设直线l:AxBy
C
0,圆C:xa2
y
b2
r2,先将方程联立消元,获取一
个一元二次方程此后,令其中的鉴识式为
,则有
0
l与C相离;0
l与C相切;
0
l与C订交
注:若是圆心的地址在原点,可使用公式
xx0
yy0
r2去解直线与圆相切的问题,
其中x0,y0表示切点坐标,r表示半径。
过圆上一点的切线方程:
①圆x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为xx0yy0r2(课本命
题).
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的实行).
A'B'C'D'E'或用对角线的端点字母,如五棱
4、圆与圆的地址关系:经过两圆半径的和(差),与圆心距(
)之间的大小比较来
d
确定。
设圆C1:xa1
2
yb1
2
r2,C2:xa2
2
yb2
2
R2
两圆的地址关系常经过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
当dRr时两圆外离,此时有公切线四条;
当dRr时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;
当R
当d
rdRr时两圆订交,连心线垂直均分公共弦,有两条外公切线;
Rr时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;
当d
Rr时,两圆内含;
当
d
0时,为同心圆。
三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的构造特点
(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形
的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各极点字母,如五棱柱ABCDE
柱AD'
几何特点:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥
定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共极点的三角形,由这些面所围成的几何体
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示:用各极点字母,如五棱锥PA'B'C'D'E'
几何特点:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于极点到截面距离与高的比的平方。
3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示:用各极点字母,如五棱台PA'B'C'D'E'
几何特点:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的极点
4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特点:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧
面张开图是一个矩形。
5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特点:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的极点;③侧面张开图是一个扇形。
6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特点:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的极点;③侧面张开图是一个弓形。
7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特点:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图:正视图(光辉从几何体的前面向后边正投影);侧视图(从左向右)、
俯视图(从上向下)
注:正视图反响了物体上下、左右的地址关系,即反响了物体的高度和长度;俯视图反响了物体左右、前后的地址关系,即反响了物体的长度和宽度;侧视图反响了物体上下、前后的地址关系,即反响了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点:①原来与x轴平行的线段依旧与x平行且长度不变;
②原来与y轴平行的线段依旧与y平行,长度为原来的一半。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
2)特别几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,h'为斜高,l为母线)
3)柱体、锥体、台体的体积公式
(4)球体的表面积和体积公式:V球=4
R3;S球面=4R2
4、空间点、直线、平面的地址关系
3
(1)平面
①
平面的看法:;
B.
平面是无量伸展的;
②
平面的表示:平时用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(平时写在一个锐角内);
也能够用两个相对极点的字母来表示,如平面
BC。
③
点与平面的关系:点A在平面
内,记作A
;点A不在平面内,记作A
点与直线的关系:点A的直线l
上,记作:A∈l;
点A在直线l外,记作Al;
作l
直线与平面的关系:直线l在平面α内,记作l
α;直线l不在平面α内,记
α。
2)公义1:若是一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
(即直线在平面内,也许平面经过直线)应用:检验桌面可否平;判断直线可否在平面内
用符号语言表示公义1:Al,Bl,A,B
l
(3)公义2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论:素来线和直线外一点确定一平面;两订交直线确定一平面;两平行直线
确定一平面。
公义2及其推论作用:①它是空间内确定平面的依照
②它是证明平面重合的依
据
4)公义3:若是两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号:平面α和β订交,交线是a,记作α∩β=a。
符号语言:PABABl,Pl
公义3的作用:
①它是判断两个平面订交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。
③它能够判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依照。
5)公义4:平行于同一条直线的两条直线互相平行
6)空间直线与直线之间的地址关系
①异面直线定义:不一样在任何一个平面内的两条直线
②异面直线性质:既不平行,又不订交。
③异面直线判断:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内但是该店的直线是异
面直线
④异面直线所成角:直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a’
∥a,b’∥b,则把直线a’和b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成
的角。两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直
角,我们就说这两条异面直线互相垂直。
说明:(1)判断空间直线是异面直线方法:①依照异面直线的定义;②异面直线的
判判定理
(2)在异面直线所成角定义中,空间一点O是任取的,而和点O的地址没关。
②求异面直线所成角步骤:
A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特其余地址,
极点选在特其余地址上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求
角
(7)等角定理:若是一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或
互补。
8)空间直线与平面之间的地址关系
直线在平面内——有无数个公共点.
三种地址关系的符号表示:aαa∩α=Aa∥α
9)平面与平面之间的地址关系:平行——没有公共点;α∥β
订交——有一条公共直线。α∩β=b
5、空间中的平行问题
(1)直线与平面平行的判断及其性质
线面平行的判判定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
线线平行线面平行
线面平行的性质定理:若是一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面订交,
那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行
2)平面与平面平行的判断及其性质两个平面平行的判判定理
1)若是一个平面内的两条订交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(线面平行→面面平行),
2)若是在两个平面内,各有两组订交直线对应平行,那么这两个平面平行。(线线平行→面面平行),
3)垂直于同一条直线的两个平面平行,
两个平面平行的性质定理
(1)若是两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。(面面平行→线面平行)
(2)若是两个平行平面都和第三个平面订交,那么它们的交线平行。(面面平行→线线平行)
7、空间中的垂直问题
1)线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直:若是两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线
面内分别作垂直于棱
..
...
互相垂直。
②线面垂直:若是一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这
个平面垂直。
③平面和平面垂直:若是两个平面订交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半
平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直。
2)垂直关系的判断和性质定理①线面垂直判判定理和性质定理
判判定理:若是一条直线和一个平面内的两条订交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。
性质定理:若是两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。②面面垂直的判判定理和性质定理
判判定理:若是一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。性质定理:若是两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
9、空间角问题
1)直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角:规定为0。
②两条订交直线所成的角:两条直线订交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成
的角。
a,b平行的
③两条异面直线所成的角:过空间任意一点O,分别作与两条异面直线
直线a,b,形成两条订交直线,这两条订交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
(2)直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角:规定为0。②平面的垂线与平面所成的角:规
定为90。
③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,
叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路近似于求异面直线所成角:“一作,二证,三计算”。在“作角”时依定义要点作射影,由射影定义知要点在于斜线上一点到面的垂线,
在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。
3)二面角和二面角的平面角①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直
线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为极点,在两个的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。
两订交平面若是所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,若是两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线获取平面
角
垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所
成的角为二面角的平面角
7、空间直角坐标系
(1)定义:如图,OBCDD,A,B,C,,
分别以OD,OA,,OB的方向为正方向,。
这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
1)O叫做坐标原点2)x轴,y轴,)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。
2)右手表示法:令右手大拇指、食指和中指互相垂直时,可能形成的地址。大
拇指指向为x轴正方向,食指指向为y轴正向,中指指向则为z轴正向,这样也能够决定三轴间的相地址。
3)任意点坐标表示:空间一点M的坐标能够用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实
数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作
M(x,y,z)(x叫做点M
的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标)
(4)空间两点距离坐标公式:d(x2x1)2
(y2y1)2
(z2
z1)2
高一数学必修3公式总结以及例题
§1算法初步
秦九韶算法:经过一次式的屡次计算渐渐得出高次多项式的值,对于一个n次多项式,
只要作n次乘法和n次加法即可。表达式以下:
例题:秦九韶算法计算多项式
3x6
4x5
5x4
6x3
7x2
8x1,当x
,
需要做几次加法和乘法
运算?
答案:6
,6
理解算法的含义:一般而言,对于一类问题的机械的、一致的求解方法称为算法,
其意义拥有广泛的含义,如:广播操图解是广播操的算法,歌谱是一首歌的算法,
空调说明书是空调使用的算法(algorithm)
描述算法有三种方式:自然语言,流程图,程序设计语言(本书指伪代码).
算法的特点:
①有限性:算法执行的步骤总是有限的,不能够无休止的进行下去
②确定性:算法的每一步操作内容温序次必定含义的确,而且必定有输出,
输出能够是一个或多个。没有输出的算法是没心义的。
③可行性:算法的每一步都必定是可执行的,即每一步都能够经过手工或
者机器在一准时间内能够完成,在时间上有一个合理的限度
算法含有两大概素:①操作:算术运算,逻辑运算,函数运算,关系运算等②控制构造:序次构造,选择构造,循环构造
流程图:(flowchart):是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法