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直线和圆--知识总结
一、直线的方程
1、倾斜角:
L
,范围0≤<,
若轴或与轴重合时,=00。
2、斜率:k=tan与的关系:=0=0
已知L上两点P1(x1,y1)0<<
P2(x2,y2)=不存在
k=
当=时,=900,不存在。当时,=arctank,<0时,=+arctank
3、截距(略)曲线过原点横纵截距都为0。
4、直线方程的几种形式
已知
方程
说明
几种特殊位置的直线
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K、b
Y=kx+b
不含y轴和行平于y轴的直线
①x轴:y=0
P1=(x1,y1)
k
y-y1=k(x-x1)
不含y轴和平行于y轴的直线
②y轴:x=0
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
不含坐标辆和平行于坐标轴的直线
③平行于x轴:y=b
a、b
不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线
④平行于y轴:x=a
⑤过原点:y=kx
Ax+by+c=0
A、B不同时为0
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两个重要结论:①平面内任何一条直线的方程都是关于x、y的二元一次方程。
②任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。
5、直线系:(1)共点直线系方程:p0(x0,y0)为定值,k为参数y-y0=k(x-x0)
特别:y=kx+b,表示过(0、b)的直线系(不含y轴)
(2)平行直线系:①y=kx+b,k为定值,b为参数。
②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0平行的直线系
③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C垂直的直线系
(3)过L1,L2交点的直线系A1x+B1y+C1+入(A2X+B2Y+C2)=0(不含L2)
6、三点共线的判定:①,②KAB=KBC,
③写出过其中两点的方程,再验证第三点在直线上。
二、两直线的位置关系
1、
L1:y=k1x+b1
L2:y=k2x+b2
L1:A1X+B1Y+C1=0
L2:A2X+B2Y+C
L1与L2组成的方程组
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2=0
平行
K1=k2且b1≠b2
无解
重合
K1=k2且b1=b2
有无数多解
相交
K1≠k2
有唯一解
垂直
K1·k2=-1
A1A2+B1B2=0
(说明:当直线平行于坐标轴时,要单独考虑)
2、L1 到L2的角为0,则()
3、夹角:
4、点到直线距离:(已知点(p0(x0,y0),L:AX+BY+C=0)
①两行平线间距离:L1=AX+BY+C1=0L2:AX+BY+C2=0
②与AX+BY+C=0平行且距离为d的直线方程为Ax+By+C±
③与AX+BY+C1=0和AX+BY+C2=0平行且距离相等的直线方程是
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5、对称:(1)点关于点对称:p(x1,y1)关于M(x0,y0)的对称
(2)点关于线的对称:设p(a、b)
对称轴
对称点
对称轴
对称点
X轴
Y=-x
Y轴
X=m(m≠0)
y=x
y=n(n≠0)
一般方法:
如图:(思路1)设P点关于L的对称点为P0(x0,y0)则Kpp0﹡KL=-1
P,P0中点满足L方程
解出P0(x0,y0)
(思路2)写出过P⊥L的垂线方程,先求垂足,然后用中点坐标公式求出P0(x0,y0)的坐标。
P
y L
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P0
x
(3)直线关于点对称
L:AX+BY+C=0关于点P(X0、Y0)的对称直线:A(2X0-X)+B(2Y0-Y)+C=0
(4)直线关于直线对称
①几种特殊位置的对称:已知曲线f(x、y)=0
关于x轴对称曲线是f(x、-y)=0关于y=x对称曲线是f(y、x)=0
关于y轴对称曲线是f(-x、y)=0关于y=-x对称曲线是f(-y、-x)=0
关于原点对称曲线是f(-x、-y)=0关于x=a对称曲线是f(2a-x、y)=0
关于y=b对称曲线是f(x、2b-y)=0
一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征,逐步求解。
三、简单的线性规划
LY
不等式表示的区域
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OX
AX+BY+C=0
约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划,可行解,最优解。
要点:①作图必须准确(建议稍画大一点)。②线性约束条件必须考虑完整。
③先找可行域再找最优解。
四、园的方程
1、园的方程:①标准方程,c(a、b)为园心,r为半径。
②一般方程:,
,
当时,表示一个点。
当时,不表示任何图形。
③参数方程:
为参数
以A(X1,Y1),B(X2,Y2)为直径的两端点的园的方程是
(X-X1)(X-X2)+(Y-Y1)(Y-Y2)=0
2、点与园的位置关系:考察点到园心距离d,然后与r比较大小。
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