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(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,那么g(x)=ax3+bx2+cx( )
(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],那么( )
A.,b=0 =-1,b=0 =1,b=0 =3,b=0
(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,那么f(x)在R上的表达式是( )
=x(x-2) =x(|x|-1) =|x|(x-2) =x(|x|-2)
(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)等于( )
A.-26 B.-18 C.-10
( )
,g(x)都是奇函数,在(0,+∞)上有最大值5,
那么f(x)在(-∞,0)上有( )
-5 -5 -1 -3
二、填空题
(填奇函数或偶函数) .
=(m-1)x2+2mx+3是偶函数,那么m=_________.
(x)是偶函数,g(x)是奇函数,假设,那么f(x)的解析式为_______.
(x)为偶函数,且其图象和x轴有四个交点,那么方程f(x)=0的所有实根之和为________.
三、解答题
[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,假设f(1-m)<f(m),务实数m的取值范围.
(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)(xR,yR),且f(0)≠0,
试证f(x)是偶函数.
(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x3+2x2—1,求f(x)在R上的表达式.
14。f(x)是定义在(-∞,-5][5,+∞)上的奇函数,且f(x)在[5,+∞)上单调递减,试判断f(x)在(-∞,-5]上的单调性,并用定义给予证明.
15。设函数y=f(x)(xR且x≠0)对任意非零实数x1、x2满足f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),
求证f(x)是偶函数.
函数的奇偶性练****参考答案
1. 解析:f(x)=ax2+bx+c为偶函数,为奇函数,
∴g(x)=ax3+bx2+cx=f(x)·满足奇函数的条件. 答案:A
:由f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数,得b=0.
又定义域为[a-1,2a],∴a-1=2a,∴.应选A.
:由x≥0时,f(x)=x2-2x,f(x)为奇函数,
∴当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x=x(-x-2).
∴即f(x)=x(|x|-2)
答案:D
:f(x)+8=x5+ax3+bx为奇函数,
f(-2)+8=18,∴f(2)+8=-18,∴f(2)=-26. 答案:A
:此题直接证明较烦,可用等价形式f(-x)+f(x)=0. 答案:B
:、g(x)为奇函数,∴为奇函数.
又f(x)在(0,+∞)上有最大值5, ∴f(x)-2有最大值3.
∴f(x)-2在(-∞,0)上有最小值-3, ∴f(x)在(-∞,0)上有最小值-1. 答案:C
:奇函数
:0解析:因为函数y=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,
∴f(-x)=f(x),即(m-1)(-x)2+2m(-x)+3=(m—1)x2+2mx+3,整理,得m=0.
:由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
可得,联立,∴.
答案:::
:令x=y=0,有f(0)+f(0)=2f(0)·f(0),又f(0)≠0,∴可证f(0)==0,
∴f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)f(-y)=f(y),故f(x)为偶函数.
:此题主要是培养学生理解概念的才能.
f(x)=x3+2x2-(x)为奇函数,∴f(0)=0.
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3+2(-x)2-1=-x3+2x2-1,
∴f(x)=x3-2x2+1.
因此,
点评:此题主要考察学生对奇函数概念的理解及应用才能.
:任取x1<x2≤-5,那么-x1>-x2≥-5.
因f(x)在[5,+∞]上单调递减,所以f(-x1)<f(-x2)f(x1)<-f(x2)f(x1)>f(x2),即单调减函数.
点评:此题要注意灵敏运用函数奇偶性和单调性,并及时转化.
:由x1,x2R且不为0的任意性,令x1=x2=1代入可证,
f(1)=2f(1),∴f(1)=0.
又令x1=x2=-1,
∴f[-1×(-1)]=2f(1)=0,
∴(-1)==-1,x2=x,
∴f(-x)=f(-1)+f(x)=0+f(x)=f(x),即f(x)为偶函数.
点评:抽象函数要注意变量的赋值,特别要注意一些特殊值,如,x1=x2=1,x1=x2=-1或x1=x2=0等,然后再结合详细题目要求构造出适宜结论特征的式子即可.