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《圆》章节知识点
一、圆的观点
。此中,定点称为圆心,定长称
为半径,以点为圆心的圆记作“e”,读作“圆”。
确立圆的基本条件:(1)、圆心:定地点,拥有独一性,(2)、半径:定大小。
半径相等的两个圆叫做等圆,两个等圆能够完整重合。
4.①连结圆上随意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径,②圆上随意两点间的部分叫
做圆弧,简称弧,弧用符号“”表示,圆的随意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧,
每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。③在同圆或等圆中,
能过重合的两条弧叫做等弧。理解:弧在圆上,弦在圆及圆上:弧为曲线形,弦为直线形。
不在同向来线上的三个点确立一个圆且独一一个。
①三角形的三个极点确立一个圆,经过三角形各极点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的
圆心是三角形三边垂直均分线的交点,叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三
角形。②与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角
均分线的交点,叫做三角形的心里。三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆,圆心是三个
角的角均分线的交点,他到三条边的距离相等:心里到三极点的连线均分这三个角。
(增补)圆的会合观点1、圆能够看作是到定点的距离等于定长的点的会合;
2、圆的外面:能够看作是到定点的距离大于定长的点的会合;
3、圆的内部:能够看作是到定点的距离小于定长的点的会合
轨迹形式的观点:
1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
、垂直均分线:到线段两头距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直均分线(也叫中垂线);
、角的均分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的均分线;
、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
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二、点与圆的地点关系
点与圆的地点关系是由这个点到圆心的距离d与半径r的大小关系决定的。
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、点在圆内
d
r
点C在圆内;
2
、点在圆上
d
r
点B在圆上;
3
、点在圆外
d
r
点A在圆外;
解题注意点和圆的地点不确立性。
圆的对称性
A
d
r
O
B
d
C
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圆是轴对称图形,他有无数条对称轴,每一条过圆心的直线都是他的对称轴。圆是以圆心为
对称中心的中心对称图形,圆绕圆心旋转随意一个角度,都能够与本来的图形重合,这类性
质叫做圆的旋转不变性。圆既是轴对称图形,又是中心对称图形。
三、直线与圆的地点关系:订交,相切,相离
假如圆O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么:
1、直线与圆相离
d
r
无交点;
2、直线与圆相切
d
r
有一个交点;
3、直线与圆订交
d
r
有两个交点;
r
d
d=r
r
d
四、圆与圆的地点关系
设两圆半径分别为
R和r,圆心距为d,那么:
外离(图
1)
无交点
d
R
r;
外切(图
2)
有一个交点
d
R
r;
订交(图
3)
有两个交点
R
r
dRr;
内切(图
4)
有一个交点
d
R
r;
内含(图
5)
无交点
d
R
r;
d
d
d
R
r
R
r
r
R
图1
图2
图3
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d
d
r
R
r
R
图4图5
五、垂径定理(特别重要)
垂径定理:垂直于弦的直径均分弦且均分弦所对的弧。
推论1:(1)均分弦(不是直径)的直径垂直于弦,而且均分弦所对的两条弧;
2)弦的垂直均分线经过圆心,而且均分弦所对的两条弧;
3)均分弦所对的一条弧的直径,垂直均分弦,而且均分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只需知道此中2个即
可推出其余3个结论,即:
①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD
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中随意
2个条件推出其余
3个结论。
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
C
D
即:在⊙O中,∵AB∥CD
O
∴弧AC
弧BD
A
B
解题技巧:在圆中,解有关弦的问题时,经常需要做“垂直于弦的直径”作为协助线。六、圆心角定理
极点在圆心的角叫做圆心角。圆心角的度数与他所对的弧的度数相等。
圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的
A
O
E
CD
B
E
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弧相等,弦心距相等。此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,
F
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只需知道此中的1个相等,则能够推出其余的3个结论,
即:①AOBDOE;②ABDE;
③OCOF;④弧BA弧BD
O
D
A
C
B
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七、圆周角定理
极点在圆上,而且两边都和圆订交的角叫做圆周角。
1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角(或弧的度数)的一半。
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即:∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角
AOB2ACB
2、圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆
周角所对的弧是等弧;
即:在⊙O中,∵C、D都是所对的圆周角
∴CD
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是
半圆,所对的弦是直径。
即:在⊙O中,∵AB是直径或∵C90
∴C90∴AB是直径
推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是
直角三角形。
即:在△ABC中,∵OCOAOB
∴△ABC是直角三角形或C90
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C
BO
A
C
BO
A
C
BA
O
C
BA
O
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注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半
的逆定理。
注:忽视一条弦所对的弧有两条,所对的圆周角边有两种不一样的角。
八、圆内接四边形
一般的,假如一个多边形的全部极点都在同一个圆上,那么这个多边形叫做圆的内接多边形,
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这个圆叫做多边形的外接圆。
圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补。
推论:圆内接四边形任何一个外角都等于他的内对角。
C
即:在⊙O中,
∵四边形ABCD是内接四边形
∴CBAD180BD180B
D
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AE
DAEC
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九、切线的性质与判断定理
直线和圆有独一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个独一的公共点叫做切点。
1)切线的判断定理:过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线;两个条件:过半径外端且垂直半径,两者缺一不行
O
即:∵MNOA且MN过半径OA外端
∴MN是⊙O的切线
MAN
2)性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推必定理:
即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道此中两个条件就能推出最后一个。
连结圆心与切点间的线段是解圆的切线问题经常用的协助线,往常表达为:
“见切点连半径
得垂直”。解决与圆的切线有关的问题时,常需要增补的线是
作过切点的半径。
九、切线长定理
在经过圆外一点的圆的切线上,这点到切点之间的线段的长叫做这点到
圆的切线长。
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,
圆心和圆外这一点的连线平
分两条切线的夹角。
B
即:∵PA、PB是的两条切线
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PAPB
PO均分BPA
O
P
A
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十一、圆幂定理
(1)订交弦定理:圆内两弦订交,交点分得的两条线段的乘积相等。
D
BO
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即:在⊙O中,∵弦AB、CD订交于点P,
P
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PAPBPCPD
2)推论:假如弦与直径垂直订交,那么弦的一半是它分直径所成
C
A
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C
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的两条线段的比率中项。
B
即:在⊙O中,∵直径ABCD,
OEA
D
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CE2AEBE
3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比率中项。
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即:在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线
A
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E
∴PA2
PCPB
D
O
P
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(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到
CB
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每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。
即:在⊙O中,∵PB、PE是割线
PCPBPDPE
十二、两圆公共弦定理
两圆相切时,连心线必过切点,这一性质是由圆的对称性决定,两个圆构成的图形是轴对称
图形,对称轴是经过两圆圆心的直线。
圆公共弦定理:订交两圆的连心线垂直均分两圆的公共弦。
A
如图:O1O2垂直均分AB。
O1O2
即:∵⊙O1、⊙O2订交于A、B两点
B
∴O1O2垂直均分AB
注:两圆订交时,依据两圆圆心和公共弦的地点,可分为两种状况:
①两圆圆心在公共弦同
侧,②两圆圆心在公共弦异侧。
十三、圆的公切线
A
B
两圆公切线长的计算公式:
C
O1
(1)公切线长:RtO1O2C中,AB2
CO1
2
O1O2
2
CO2
2;
O2
(2)外公切线长:CO2是半径之差;
内公切线长:CO2是半径之和
。
十四、圆内正多边形的计算
各边相等,各角也相等的多边形叫做
正多边形。
把一个圆分红相等的弧,
挨次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,
这个圆叫
做正多边形的外接圆。
经过各分点做圆的切线,
以相邻切线的交点为极点的多边形是这个圆
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的外切多边形,这个圆叫做多边形的内切圆。
正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心。正多边形外接圆的半径叫做正
多边形的半径。正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角,正多边形内
切圆半径叫做正多边形的边心距。
正n边形的半径R与边心距r把正n边形分红2n个全等的直角三角形。
关系式:中心角
n=
3600
;边长an=2Rsin
1800
;
1800
n
n
2
2
1
2
边心距rnRcos
n
;R
r
(
2
an)
;周长Cn
nan;
面积Sn=1anrn?n=1Cn?rn.
2
2
(1)正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在
RtBOD中进行:
C
OD:BD:OB1:3:2;
O
B
A
D
(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在Rt
OAE中进行,
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OE:AE:OA1:1:2:
BC
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O
A
E
D
(3)正六边形
同理,六边形的有关计算在RtOAB中进行,
AB:OB:OA1:3:2.
O
B
A
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十五、扇形、圆柱和圆锥的有关计算公式
n
R
;
1、扇形:(1)弧长公式:l
180
(2)扇形面积公式:
S
nR2
1lR
360
2
n:圆心角
R:扇形多对应的圆的半径
l:扇形弧长
2、圆柱:
(1)圆柱侧面睁开图
A
S表S侧2S底=2rh2r2
B
(2)圆柱的体积:Vr2h
(2)圆锥侧面睁开图
(1)S表
S侧S底=Rr
r2
(2)圆锥的体积:V
1
r2h
3
A
增补:
圆中四心:外心:各边垂直均分线的交点
心里:各角角均分线的交点
垂心:各边高线的交点
重心:各边中线的交点
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A
OSl
B
:扇形面积
D
D1
母线长
底面圆周长
C1
C
B1
O
R
C
rB
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