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二次根式
:一般地,式子a,(a
0):(1)若a
0这个条件不建立,则
a不是二次根式;(2)a
是一个重要的非负数,即;
a≥0.
:(1)(a)
2
a
(a
0),(2)a
2
a
a
(a
0)
;注意使用a(a)
2
(a0).
a
(a
0)
:ab
a
b
(a
0,b
0),积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积;注意:本章中的公
式,对字母的取值范围一般都有要求.
:
a
b
ab
(a
0,b
0).
:
1)利用近似值比大小;
2)把二次根式的系数移入二次根号内,而后比大小;
3)分别平方,而后比大小.
:aa(a0,b0),商的算术平方根等于被除式的算术平方消除以除式的算术平方根.
b
:
(1)
a
a(a
0,b0)
;
b
b
(2)a
b
ab(a
0,b0);
3)分母有理化:化去分母中的根号叫做分母有理化;详细方法是:分式的分子与分母同乘分母的有理化因式,使分母变成整式.
:a与a,ab与ab,manb与manb,它们也叫互为有理化因式.
:
1)知足以下两个条件的二次根式,叫做最简二次根式,①被开方数的因数是整数,因式是整式,②被开方数中不含能开的尽的因数或因式;
2)最简二次根式中,被开方数不可以含有小数、分数,字母因式次数低于2,且不含分母;
3)化简二次根式时,常常需要把被开方数先分解因数或分解因式;
4)二次根式计算的最后结果一定化为最简二次根式.
:(1)显然条件题;(2)隐含条件题;(3)议论条件题.
:几个二次根式化成最简二次根式后,假如被开方数同样,这几个二次根式叫做同类二次根式.
:
1)二次根式的混淆运算包含加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算,从前学过的,在有理数范围内的全部公式和运算律在二次根式的混淆运算中都合用;
2)二次根式的运算一般要先把二次根式进行适合化简,比如:化为同类二次根式才能归并;除法运算有时转变成分母有理化或约分更加简易;使用乘法公式等.
四边形几何A级观点:(要求深刻理解、娴熟运用、主要用于几何证明)
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:(1)四形的内角和等于360°;(2)四形的外角和等于360°.
:
(1)n形的内角和等于(n-2)180°;
(2)随意多形的外角和等于360°.
:
(1)两分平行;
(2)两分相等;
因ABCD是平行四形(3)两角分相等;
(4)角相互均分;
(5)角互.
:
()两分平行
1
()两分相等
2
()两角分相等
ABCD
是平行四形.
3
()一平行且相等
4
()角相互均分
5
矩形的性:
(1)拥有平行四形的所有通性;
因ABCD是矩形(2)四个角都是直角;
(3)角相等.
(2)(1)(3)
几何表达式例:
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°
⋯⋯⋯⋯⋯
∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°
⋯⋯⋯⋯⋯
几何表达式例:
略
几何表达式例:
∵ABCD是平行四形∴AB∥CDAD∥BC
∵ABCD是平行四形∴AB=CDAD=BC
∵ABCD是平行四形∴∠ABC=∠ADC
∠DAB=∠BCD
∵ABCD是平行四形∴OA=OCOB=OD
∵ABCD是平行四形∴∠CDA+∠BAD=180°
几何表达式例:
(1)∵AB∥CDAD∥BC
∴四形ABCD是平行四形
(2)∵AB=CDAD=BC
∴四形ABCD是平行四形
⋯⋯⋯⋯⋯
几何表达
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式例:
⋯⋯⋯⋯⋯
∵ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵ABCD是矩形∴AC=BD
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:
几何表达式例:
(1)平行四形
一个直角
(1)
∵ABCD是平行四形
(2)三个角都是直角
四形ABCD是矩形.
又∵∠A=90°
(3)角相等的平行四形
∴四形ABCD是矩形
(2)
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∴四形ABCD是矩形
(1)(2)
(3)
(3)
⋯⋯⋯⋯⋯
:
几何表达式例:
因ABCD是菱形
(1)
⋯⋯⋯⋯⋯
(1)拥有平行四形的所
有通性;
(2)
∵ABCD是菱形
(2)四个都相等;
∴AB=BC=CD=DA
(3)角垂直且均分
角.
(3)
∵ABCD是菱形
∴AC⊥BD∠ADB=∠CDB
:
几何表达式例:
(1)平行四形
一等
(1)
∵ABCD是平行四形
(2)四个都相等
四形四形ABCD是菱
∵DA=DC
(3)角垂直的平行四形
∴四形ABCD是菱形
形.
(2)
∵AB=BC=CD=DA
∴四形ABCD是菱形
(3)
∵ABCD是平行四形
∵AC⊥BD
∴四形ABCD是菱形
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:
因ABCD是正方形
(1)拥有平行四形的所有通性;
(2)四个都相等,四个角都是直角;
(3)角相等垂直且均分角.
(1)(2)(3)
:
几何表达式例:
⋯⋯⋯⋯⋯
∵ABCD是正方形∴AB=BC=CD=DA∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵ABCD是正方形∴AC=BDAC⊥BD
∴⋯⋯⋯⋯⋯
几何表达式例:
∵ABCD是平行四形
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(1)平行四形
一等
一个直角
又∵AD=AB∠ABC=90°
(2)菱形
一个直角
四形ABCD是
∴四形ABCD是正方形
(3)矩形
一等
(2)∵ABCD是菱形
正方形.
又∵∠ABC=90°
(3)
∵ABCD是矩形
∴四形ABCD是正方形
又∵AD=AB
∴四形ABCD是正方形
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:
(1)两底平行,两腰相等;
因ABCD是等腰梯形(2)同一底上的底角相等;
(3)角相等.
:
(1)梯形两腰相等
(2)梯形底角相等四形ABCD是等腰梯形
(3)梯形角相等
(3)∵ABCD是梯形且AD∥BC
∵AC=BD
∴ABCD四形是等腰梯形
:
※(1)假如一平行在一条直上截得的段相等,那么在其
它直上截得的段也相等;
(2)梯形一腰的中点与底平行的直必均分另一腰;(如)(3)三角形一的中点与另一平行的直必均分第三.
(如)
几何表达式例:
∵ABCD是等腰梯形∴AD∥BCAB=CD
∵ABCD是等腰梯形∴∠ABC=∠DCB
∠BAD=∠CDA
∵ABCD是等腰梯形∴AC=BD
几何表达式例:
(1)∵ABCD是梯形且AD∥BC
又∵AB=CD
∴四形ABCD是等腰梯形
(2)∵ABCD是梯形且AD∥BC
又∵∠ABC=∠DCB∴四形ABCD是等腰梯形
几何表达式例:
⋯⋯⋯⋯⋯
∵ABCD是梯形且AB∥CD
又∵DE=EAEF∥AB
∴CF=FB
(3)∵AD=DB
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又∵DE∥BC
(2)
(3)
∴AE=EC
:
几何表达式例:
三角形的中位平行第三,而且等于
∵AD=DBAE=EC
它的一半.
∴DE∥BC且DE=1BC
2
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:几何表达式例:
梯形的中位平行于两底,而且等于两∵ABCD是梯形且AB∥CD
∵DE=EACF=FB
∴EF∥AB∥CD
且EF=1(AB+CD)
2
几何B级观点:(要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题)
一基本观点:四形,四形的内角,四形的外角,多形,平行的距离,平行四形,矩形,菱形,正方形,中心
称,中心称形,梯形,等腰梯形,直角梯形,三角形中位,梯形中位.
二定理:中心称的相关定理
.
,称点都称中心,而且被称中心均分.
,而且被一点均分,那么两个形对于一点称.
三公式:
=1ab=ch.(a、b菱形的角,c菱形的,hc上的高)
2
=,ha上的高)
=1(a+b)h=Lh.(a、b梯形的底,h梯形的高,L梯形的中位)
2
四常:
,角条数公式是:n(n3).
2
“出一全等,一相像”.
:平行四形、矩形、菱形、正方形的附属关系.
,是称形的有:角、等腰三角形、等三角形、正奇形、等腰梯形⋯⋯;是中心称形的有:
平行四形⋯⋯;是双称形的有:段、矩形、菱形、正方形、正偶形、⋯⋯.注意:段有两条称.
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※:
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※:
如图:若ABCD是平行四边形,
如图:若ABC中,∠ACB=90°,且CD如图:若ABCD是菱形,
且AE⊥BC,AF⊥CD那么:
⊥AB,那么:
且BE⊥AD,那么:
AE·BC=AF·CD.
AC·BC=CD·AB.
AC·BD=2BE·AD.
如图:若ABC中,且BE
如图:若ABCD是梯形,E、F
如图:
如图:若AD∥BC,那么:
⊥AC,AD⊥BC,那么:
是两腰的中点,且AG⊥BC,
S1
BD
(1)S
ABC=SBDC;
S2
DC
.
AD·BC=BE·AC.
那么:
(2)S
ABD=SACD.
1
EF·AG=(AD+BC)AG.
相像形几何A级观点:(要求深刻理解、娴熟运用、主要用于几何证明)
1“平行出比率”定理及逆定理:
几何表达式举例:
(1)平行于三角形一边的直线截其余两边(或两边的延伸线)所得的对
(1)
∵DE∥BC
应线段成比率;
∴AD
AE
※(2)假如一条直线截三角形的两边(或两边的延伸线)所得的对应线
DB
EC
段成比率,那么这条直线平行于三角形的第三边.
(2)
∵DE∥BC
∴AD
AE
AC
AB
(1)(3)
(2)
(3)
∵AD
AE
DB
EC
∴DE∥BC
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:
(1)比率的基天性质:
①a:b=c:d
a
c
;
b
ad=bc
d
左右换位:c
a
d
b
②若a
c那么
上下换位:b
d
b
d
a
c
交错换位:d
b
c
a
(2)合比性质:假如a
c那么a
b
cd;
b
d
b
d
(3)等比性质:假如a
c
m那么a
c
m
a.
b
d
n
b
d
n
b
:“平行”出相像
平行于三角形一边的直线和其余两边(或两边的延伸线)订交,所组成的三角形与原三角形相像.
:“AA”出相像
假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相像.
:“SAS”出相像
假如一个三角形的两条边与另一个
三角形的两条边对应成比率,而且夹角相
等,那么这两个三角形相像.
6.“双垂”出相像及射影定理:
(1)直角三角形被斜边上的高分红的两个
直角三角形和原三角形相像;
(2)双垂图形中,两条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比率中项,斜边上的高是它分斜边所成两条线段的比率中项.
几何表达式举例:
∵DE∥BC
∴ΔADE∽ΔABC
几何表达式举例:
∵∠A=∠A
又∵∠AED=∠ACB
∴ΔADE∽ΔABC
几何表达式举例:
∵ADAB
AEAC
又∵∠A=∠A
∴ΔADE∽ΔABC
几何表达式举例:
(1)∵AC⊥CB
又∵CD⊥AB
∴ΔACD∽ΔCBD
∽ΔABC
(2)∵AC⊥CBCD⊥
AB
2
∴AC=AD·AB
2
BC=BD·BA
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2
DC=DA·DB
:
(1)相像三角形对应角相等,对应边成比率;
(2)相像三角形对应高的比,对应中线的比,对应角均分线、周长的比都等于相像比;
※(3)相像三角形面积的比,等于相像比的平方.
(1)∵ΔABC∽ΔEFG
(2)∵ΔABC∽ΔEFG
(3)∵ΔABC∽ΔEFG
AB
BC
AC
又∵AD、EH是对应中线
SABC
2
∴
∴
AB
EF
FG
EG
SEFG
EF
∴AD
AB
∠BAC=∠FEG
EH
EF
几何B级观点:(要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题)
一基本观点:成比率线段、第四比率项、比率中项、黄金切割、相像三角形、相像比.
二定理:
:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比率.
2.“平行”出比率定理:平行于三角形的一边,而且和其余两边订交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比率.
3.“SSS”出相像定理:假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比率,那么这两个三角形相像.
4.“HL”出相像定理:假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比率,那么这两个直角三角形相像.
三知识:
,作平行线结构相像形和已知中点结构中位线是常用协助线.
※,常用的剖析方法有:
1)直接法:由所要求证的比率式出发,找对应的三角形(一对或两对),判断并证明找到的三角形相像,进而使比率式得证;
2)等线段代换法:由所证的比率式出发,但找不到对应的三角形,可利用图形中的相等线段对所证比率式中的线段(一条或几条)进行代换,再利用新的比率式找对应的三角形证相像或转变;
3)等比代换法(即中间比法):用上述的直接法或间接法都没法解决的证比率线段的问题,且题目中有两对或两对以上的相
似形,可考虑用等比代换法,两对相像形的公共边或图形中的相等线段常常是中间比,即要证a
c时,可证a
e且c
e
b
d
b
fd
f
进而推出ac;
d
4)线段剖析法:利用相像形的对应边成比率列方程,并求线段长是常有题目,这种题目中如没有现成的比率式,可由题目中的已知线段和所求线段出发,找它们所围成的三角形,若能证相像,即可利用对应边成比率列方程求出线段长.
;即:∵Δ1∽Δ22∽Δ3
∴Δ1∽Δ3
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