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高一数学必修一重点知识点总结
一、集合
一、集合相关概念
:
(1)元素确实定性如:世界上的山
(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
:{…}如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法及描述法。
注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
1)列举法:{a,b,c……}
2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}
3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图:
4、集合的分类:
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}
二、集合间的根本关系
1.“包含〞关系—子集
注意:有两种可能(1)A是B的一局部,;(2)A及B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等〞关系:A=B(5≥5,且5≤5,那么5=5)
实例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素一样那么两集合相等〞
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即:①任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
③如果AB,BC,那么AC
④如果AB同时BA那么A=B
,记为Φ
规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
二、函数
1、函数定义域、值域求法综合
2.、函数奇偶性及单调性问题的解题策略
3、恒成立问题的求解策略
4、反函数的几种题型及方法
5、二次函数根的问题——一题多解
&指数函数y=a^x
a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q)
(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q)
(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)
指数函数对称规律:
1、函数y=a^x及y=a^-x关于y轴对称
2、函数y=a^x及y=-a^x关于x轴对称
3、函数y=a^x及y=-a^-x关于坐标原点对称
&对数函数y=loga^x
如果,且,,,那么:
○1+;
○2-;
○3.
注意:换底公式
(,且;,且;).
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幂函数y=x^a(a属于R)
1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)时,幂函数的图象通过原点,,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;
(3)时,,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.
方程的根及函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象及轴交点的横坐标。
即:方程有实数根函数的图象及轴有交点函数有零点.
3、函数零点的求法:
○1(代数法)求方程的实数根;
○2(几何法)对于不能用求根公式的方程,能够将它及函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数.
(1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象及轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程有两相等实根,二次函数的图象及轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程无实根,二次函数的图象及轴无交点,二次函数无零点.
三、平面向量
向量:既有大小,又有方向的量.
数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为的向量.
单位向量:长度等于个单位的向量.
相等向量:长度相等且方向一样的向量
&向量的运算
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加法运算
AB+BC=AC,这种计算法那么叫做向量加法的三角形法那么。
两个从同一点O出发的两个向量OA、OB,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB,那么以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和,这种计算法那么叫做向量加法的平行四边形法那么。
对于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算
及a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
数乘运算
实数λ及向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,|λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa的方向和a的方向一样,当λ<0时,λa的方向和a的方向相反,当λ=0时,λa=0。
设λ、μ是实数,那么:(1)(λμ)a=λ(μa)(2)(λμ)a=λaμa(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
向量的数量积
两个非零向量a、b,那么|a||b|cosθ叫做a及b的数量积或内积,记作a?b,θ是a及b的夹角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量及任意向量的数量积为0。
a?b的几何意义:数量积a?b等于a的长度|a|及b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
四、三角函数
1、善于用“1“巧解题
2、三角问题的非三角化解题策略
3、三角函数有界性求最值解题方法
4、三角函数向量综合题例析
5、三角函数中的数学思想方法
【二】
一般地,自变量x和因变量y之间存有如下关系:y=ax^2+bx+c
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(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还能够决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)
那么称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于及x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,能够看出,二次函数的图像是一条抛物线。
。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴及抛物线的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
,坐标为
P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上。
。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,那么抛物线的开口越小。