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一、命题
1、关于定义的定义:能明确指出概念含义或特征的句子称为定义。
2、命题的定义:对事情进展正确或者错误推断的句子叫做命题。正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题
3、理解命题时留意:(1)命题是能推断正确或错误的句子,如两直线平行这个句子,我们无法推断其正确还是错误的,因此它不是命题。(2)错误的命题也是命题,只是它是假命题而已。
4、命题的构造
任何命题的构造都是一样的,即,命题有题设和结论两局部构成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项。
任何命题都写成假如……,那么……的形式。假如后面是题设,那么后面是结论。
二、公理、定理
1、公理:人们从长期实践中总结出来的,并作为把它们作为推断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理。
2、定理:有些命题从公理或其他真命题动身,用规律推理的方法证明它是正确的,并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理。
3、证明:依据题设、定义、公理、定理等,经过规律推理来推断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明。
证明文字命题的一般步骤为:(1)依据题意,画出图形;(2)依据题设、结论,结合图形,写出已知、求证;(3)经过分析,找出由已知推出结论的途径,写出证明过程,并注明依据。
一、全等形
1、定义:能够完全重合的两个图形叫做全等图形,简称全等形。
2、一个图形经过翻折、平移和旋转等变换后所得到的`图形肯定与原图形全等。反之,两个全等的图形经过上述变换后肯定能够相互重合。
二、全等多边形
1、定义:能够完全重合的多边形叫做全等多边形。相互重合的点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角。
2、性质:
(1)全等多边形的对应边相等,对应角相等。(2)全等多边形的面积相等。
三、全等三角形
1、全等符号:≌。如图,不是为:△ABC≌△A′B′C′。读作:三角形ABC全等于三角形A′B′C′。
2、全等三角形的判定定理
(1)有两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等。(即SAS,边角边);(2)有两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等。(即ASA,角边角)(3)有两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等。(即AAS,角角边)(4)有三边对应相等的两三角形全等。(即SSS,边边边)(5)有斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等。(即HL,斜边直角边)
3、全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边相等、对应角相等;(2)全等三角形的周长相等、面积相等;(3)全等三角形对应边上的中线、高,对应角的平分线都相等。
4、全等三角形的作用
(1)用于直接证明线段相等,角相等。(2)用于证明直线的平行关系、垂直关系等。(3)用于测量人不能的到达的路程的长短等。(4)用于间接证明特别的图形。(如证明等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形等)。(5)用于解决有关等积等问题。
一、定义:在几何中,把限定用直尺(无刻度)和圆规作图的方法,称为尺规作图。最根本最常用的尺规作图,称为根本作图。
二、五种根本作图:
1、作一条线段等于已知线段;2、作一个角等于已知角;3、作已知角的平分线;4、经过一点作已知直线的垂线;5、作已知线段的中垂线。
三、几何作图题:一般由根本作图构成,所以作图时,先分析是由那些根本作图构成再作。
一、逆命题与逆定理
(一)逆命题
1、定义:在两个命题中,假如第一个命题的题设是其次个命题的结论,而第一个命题的结论是其次个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题。假如把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题就叫做它的逆命题。
2、每个命题都有逆命题,只要将原命题的题设改为结论,并将原命题的结论改为题设,便可得到原命题的逆命题。
3、原命题正确,它的逆命题未必正确。
(二)逆定理
1、假如一个定理的逆命题也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理。其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
2、虽然每个命题都有逆命题,但每个定理不肯定有逆定理,因此一个定理有无逆定理,应先写出它的逆命题,经过推理论证得到它是一个真命题,才能说明这个逆命题为原定理的逆定理。
3、要证明一个命题的正确性,必需通过推理证明其正确性;而要说明一个命题是假命题,只需举出反例,即在给出命题题设的条件下,得到这个命题的结论相反或不同的结论,从而说明原命题是假命题。
(三)公式法:利用乘法公式进展因式分解的方法,叫做公式法。
二、等腰三角形
(一)性质定理:1、定理:等腰三角形的两底角相等。(简称等边对等角);2、定理的作用:证明在同一个三角形中的两个角相等。3、等腰三角形性质定理的推论
(1)等腰三角形的顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。(即等腰三角形的三线合一)
(2)等边三角形各角都相等,并且每个角为60o。等边三角形三边对应的都有三线合一的状况。
(二)判定定理
1、定理:假如一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的也相等。(简写成等角对等边)2、判定定理的作用:证明同一个三角形中两条边相等。3、等腰三角形判定定理的推论
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形;(2)有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形;(3)在直角三角形中,假如有一个锐角等于30o的,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
(三)等边三角形的判定
1、三边都相等的三角形叫做等边三角形;2、三个角都相等的三角形是等边三角形;3、有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形;
(四)直角三角形(Rt△)的判定
1、有一个角是90o的三角形是直角三角形;2、一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形;3、若a2+b2=c2,则a、b、c为边的三角形是直角三角形。
三、角平分线
1、性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;
2、判定定理:(1)把一个角分成相等的两局部射线叫做角平分线;(2)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3、三角形的三条角平分线的性质定理:三角形的三条角平分线交于一点。并且这一点到三条边的距离相等。
四、线段的垂直平分线
1、性质定理:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等;
2、判定定理:(1)经过一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线称为这条线段的垂直平分线;(2)到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
3、三角形的三边的垂直平分线的性质定理:三角形的三边的垂直平分线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。