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。
假设空间折线的最后一条线段的尾端和最初一条线段的首端重合,那么叫做封闭的空间折线。
假设封闭的空间折线各线段彼此不相交,那么叫做这空间多边形平面,平面是一个不定义的概念,几何里的平面是无限伸展的.
平面通常用一个平行四边形来表示。
平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示,也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示,如平面AC.
在立体几何中,大写字母A,B,C,…表示点,小写字母,a,b,c,…l,m,n,…表示直线,且把直线和平面看成点的集合,因此能借用集合论中的符号表示它们之间的关系,例如:
A∈l—点A在直线l上;Aα—点A不在平面α内;
lα—直线l在平面α内;
aα-直线a不在平面α内;
l∩m=A—直线l和直线m相交于A点;
α∩l=A—平面α和直线l交于A点;
α∩β=l-平面α和平面β相交于直线l.
2。平面的根本性质
公理1假设一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2假设两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理3经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面。
根据上面的公理,可得以下推论.
推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.
直接证法
反证法
证题方法
间接证法
同一法
共面平行—没有公共点
(1)直线和直线相交—有且只有一个公共点
异面(既不平行,又不相交)
直线在平面内—有无数个公共点
(2)直线和平面直线不在平面内平行-没有公共点
(直线在平面外)相交—有且只有一公共点
(3)平面和平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)
平行—没有公共点
证明两条直线是异面直线通常采用反证法。
有时也可用定理“平面内一点和平面外一点的连线,和平面内不经过该点的直线是异面直线”。
6。线面平行和垂直的断定
(1)两直线平行的断定
①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行.
②假设一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即假设a
∥α,aβ,α∩β=b,那么a∥b。
③平行于同一直线的两直线平行,即假设a∥b,b∥c,那么a∥c.
④垂直于同一平面的两直线平行,即假设a⊥α,b⊥α,那么a∥b
⑤两平行平面和同一个平面相交,那么两条交线平行,即假设α∥β,α∩γ,β∩γ=b,那么a∥b
⑥假设一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和这两个平面的交线平行,即假设α∩β=b,a∥α,a∥β,那么a∥b。
(2)两直线垂直的断定
①定义:假设两直线成90°角,那么这两直线互相垂直.
②一条直线和两条平行直线中的一条垂直,∥c,a⊥b,那么a⊥c
③一条直线垂直于一个平面,⊥α,bα,a⊥b。
④三垂线定理和它的逆定理:在平面内的一条直线,假设和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
⑤假设一条直线和一个平面平行,∥α,b⊥α,那么a⊥b.
⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直,即假设α⊥β,β⊥γ,γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,那么a⊥b,b⊥c,c⊥a。
(3)直线和平面平行的断定
①定义:假设一条直线和平面没有公共点,那么这直线和这个平面平行.
②假设平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。即假设aα,bα,a∥b,那么a∥α。
③两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面,即假设α∥β,lα,那么l∥β。
④假设一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面,那么这条直线和这个平面平行。即假设α⊥β,l⊥β,lα,那么l∥α.
⑤在一个平面同侧的两个点,假设它们和这个平面的间隔相等,那么过这两个点的直线和这个平面平行,即假设Aα,Bα,A、B在α同侧,且A、B到α等距,那么AB∥α.
⑥两个平行平面外的一条直线和其中一个平面平行,也和另一个平面平行,即假设α∥β,aα,aβ,a∥α,那么α∥β。
⑦假设一条直线和一个平面垂直,那么平面外和这条直线垂直的直线和该平面平行,即假设a⊥α,bα,b⊥a,那么b∥α。
⑧假设两条平行直线中的一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内),即假设a∥b,a∥α,b∥α(或bα)
(4)直线和平面垂直的断定
①定义:假设一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,那么这条直线和这个平面垂直.
②假设一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。即假设mα,nα,m∩n=B,l⊥m,l⊥n,那么l⊥α.
③假设两条平行线中的一条垂直于一个平面,∥a,a⊥α,那么l⊥α。
④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面,即假设α∥β,l⊥β,那么l⊥α。
⑤假设两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面,即假设α⊥β,a∩β=α,lβ,l⊥a,那么l⊥α.
⑥假设两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于第三个平面,即假设α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,那么a⊥γ。
(5)两平面平行的断定
①定义:假设两个平面没有公共点,那么这两个平面平行,即无公共点α∥β。
②假设一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,即假设a,bα,a∩b=P,a∥β,b∥β,那么α∥β.
③⊥a,β⊥a,那么α∥β。
④∥β,β∥γ,那么α∥γ.
⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行,即假设a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,那么α∥β.
(6)两平面垂直的断定
①定义:两个平面相交,假设所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互相垂直,即二面角α-a-β=90°α⊥β。
②假设一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,即假设l⊥β,lα,那么α⊥β.
③一个平面垂直于两个平行平面中的一个,∥β,α⊥γ,那么β⊥γ.
7。直线在平面内的断定
(1)利用公理1:一直线上不重合的两点在平面内,那么这条直线在平面内.
(2)假设两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内,即假设α⊥β,A∈α,AB⊥β,那么ABα.
(3)过一点和一条直线垂直的所有直线,都在过此点而垂直于直线的平面内,即假设A∈a,a⊥b,A∈α,b⊥α,那么aα。
(4)过平面外一点和该平面平行的直线,都在过此点而和该平面平行的平面内,即假设Pα,P∈β,β∥α,P∈a,a∥α,那么aβ.
(5)假设一条直线和一个平面平行,那么过这个平面内一点和这条直线平行的直线必在这个平面内,即假设a∥α,A∈α,A∈b,b∥a,那么bα.
8。存在性和唯一性定理
(1)过直线外一点和这条直线平行的直线有且只有一条;
(2)过一点和平面垂直的直线有且只有一条;
(3)过平面外一点和这个平面平行的平面有且只有一个;
(4)和两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条;
(5)过一点和直线垂直的平面有且只有一个;
(6)过平面的一条斜线且和该平面垂直的平面有且只有一个;
(7)过两条异面直线中的一条而和另一条平行的平面有且只有一个;
(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而和另一条垂直的平面有且只有一个。
(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面上的射影,点的射影还是点。
(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线,过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影。
和射影面垂直的直线的射影是一个点;不和射影面垂直的直线的射影是一条直线。
(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影。
当图形所在平面和射影面垂直时,射影是一条线段;
当图形所在平面不和射影面垂直时,射影仍是一个图形。
(4)射影的有关性质
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:
(i)射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长;
(ii)相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长;
(iii)垂线段比任何一条斜线段都短。
等角定理和推论
定理假设一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向一样,那么这两个角相等.
推论假设两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
异面直线所成的角
(1)定义:a、b是两条异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a′∥a,b′∥b,那么a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
(2)取值范围:0°<θ≤90°.
(3)求解方法
①根据定义,通过平移,找到异面直线所成的角θ;
②解含有θ的三角形,求出角θ的大小.
11。直线和平面所成的角
(1)定义和平面所成的角有三种:
(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。
(ii)垂线和平面所成的角直线垂直于平面,那么它们所成的角是直角.
(iii)一条直线和平面平行,或在平面内,那么它们所成的角是0°的角.
(2)取值范围0°≤θ≤90°
(3)求解方法
①作出斜线在平面上的射影,找到斜线和平面所成的角θ.
②解含θ的三角形,求出其大小。
③最小角定理
斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角,亦可说,斜线和平面所成的角不大于斜线和平面内任何直线所成的角.
12。二面角及二面角的平面角
(1)半平面直线把平面分成两个部分,每一部分都叫做半平面。
(2),这两个平面叫做二面角的面,即二面角由半平面一棱一半平面组成.
假设两个平面相交,那么以两个平面的交线为棱形成四个二面角.
二面角的大小用它的平面角来度量,通常认为二面角的平面角θ的取值范围是
0°<θ≤180°
(3)二面角的平面角
①以二面角棱上任意一点为端点,分别在两个面内作垂直于棱的射线,这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
如图,∠PCD是二面角α-AB-β的平面角。平面角∠PCD的大小和顶点C在棱AB上的位置无关。
②二面角的平面角具有以下性质:
(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面,即AB⊥平面PCD.
(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线,垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.
(iii)二面角的平面角所在的平面和二面角的两个面都垂直,即平面PCD⊥α,平面PCD⊥β。
③找(或作)二面角的平面角的主要方法.
(i)定义法
(ii)垂面法
(iii)三垂线法
(Ⅳ)根据特殊图形的性质
(4)求二面角大小的常见方法
①先找(或作)出二面角的平面角θ,再通过解三角形求得θ的值。
②利用面积射影定理
S′=S·cosα
其中S为二面角一个面内平面图形的面积,S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积,α为二面角的大小。
③利用异面直线上两点间的间隔公式求二面角的大小.
13。空间的各种间隔
点到平面的间隔
(1)定义面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的间隔叫做这个点到这个平面的间隔.
(2)求点面间隔常用的方法:
1)直接利用定义求
①找到(或作出)表示间隔的线段;
②抓住线段(所求间隔)所在三角形解之。
2),那么点到两平面交线的间隔就是所求的点面间隔.
3)体积法其步骤是:①在平面内选取适当三点,和点构成三棱锥;②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S;③由V=S·h,求出h即为所求。。
4)转化法将点到平面的间隔转化为(平行)直线和平面的间隔来求。
14。直线和平面的间隔
(1)定义一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的间隔,叫做这条直线和平面的间隔。
(2)求线面间隔常用的方法
①直接利用定义求证(或连或作)某线段为间隔,然后通过解三角形计算之.
②将线面间隔转化为点面间隔,然后运用解三角形或体积法求解之。
③作辅助垂直平面,把求线面间隔转化为求点线间隔.
15。平行平面的间隔
(1)定义个平行平面同时垂直的直线,,叫做这两个平行平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的间隔。
(2)求平行平面间隔常用的方法
①直接利用定义求
证(或连或作)某线段为间隔,然后通过解三角形计算之。
②把面面平行间隔转化为线面平行间隔,再转化为线线平行间隔,最后转化为点线(面)间隔,通过解三角形或体积法求解之.
(1),叫做两条异面直线的间隔。
任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段。
(2)求两条异面直线的间隔常用的方法
①定义法题目所给的条件,找出(或作出)两条异面直线的公垂线段,再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.
此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.
②转化法为以下两种形式:线面间隔面面间隔
③等体积法
④最值法
⑤射影法
⑥公式法