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肇知识点归纳:
袃一、不等式的概念与性质
腿1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系:
袀2、不等式的性质:
螆1,反对称性
袃2,传递性
薀3,故移项法则
芈推论:同向不等式相加
薅4,
羃推论1:
羁推论2:
羀推论3:
薈不等式的性质是解、证不等式的基础,对于这些性质,关键是正确理解和熟练运用,要弄清每一个条件和结论,学会对不等式进行条件的放宽和加强;
肃3、常用的基本不等式和重要的不等式
莂1当且仅当
蒇2
莆3,则
膃4
螂4、最值定理:设
腿1如积
膅2如积
芃即:积定和最小,和定积最大;
衿运用最值定理求最值的三要素:一正二定三相等
蚇5、均值不等式:
袄两个正数的均值不等式:
莃三个正数的均值不等是:
芀n个正数的均值不等式:
荿6、四种均值的关系:两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是
羇小结:在不等式的性质中,要特别注意下面4点:
莂1、不等式的传递性:若a>b,b>c,则a>c,这是放缩法的依据,在运用传递性时,要注意不等式的方向,否则易产生这样的错误:为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后,就误认为能得到a>c;
蚁2、同向不等式可相加但不能相减,即由a>b,c>d,可以得出a+c>b+d,
螇但不能得a—c>b—d;
蚆3、不等式两边同时乘以一个数或式时,只有该数或式保证为正,才能得到同向的不等式,否则不能保证所乘之数或式为正,则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向;不等式两边同偶次乘方时,也要特别注意不等式的两边必须是正;
蒂不等式的应用范围十分广泛,在数学中,诸如集合问题,方程组的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明;
肂二、不等式的证明方法
蕿1比较法:作差比较:
蒅作差比较的步骤:
薂①作差:对要比较大小的两个数或式作差;
蒃②变形:对差进行因式分解或配方成几个数或式的完全平方和;
羇③判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号;
蒈注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小;
蚂2综合法:由因导果由已知的不等式出发,不断地用必要条件代替前面的不等式,直到推导出前面的不等式;常用的基本不等式有均值不等式;若,,则;若,则;④柯西不等式
薀3分析法:执果索因基本步骤:要证……只需证……,只需证……
蚈①“分析法”证题的理论依据:寻找结论成立的充分条件或者是充要条件;
芇②“分析法”证题是一个非常好的方法,但是书写不是太方便,所以我们可以利用分析法寻找证题的途径,然后用“综合法”进行表达;
螂4反证法:正难则反直接证明难,就用反证;
羁5放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的
莀放缩法的方法有:
肅①添加或舍去一些项,如:;;
袂②将分子或分母放大或缩小
莁③利用基本不等式,
袈如:;
袄④利用常用结论:
羂Ⅰ、;
螂Ⅱ、;程度大
薀Ⅲ、;程度小
袇6换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元;如:
羂已知,可设;
罿已知,可设;
肈已知,可设;
蚆已知,可设;
肁7构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式;
莀证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法;要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点;
螀数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究;
莅例1已知a,b∈R,且a+b=1;
蒅求证:;
螁证法一:比较法
膈即当且仅当时,取等号;
蒈证法二:分析法
薅因为显然成立,所以原不等式成立;
膂点评:分析法是基本的数学方法,使用时,要保证“后一步”是“前一步”的充分条件;
羀证法三:综合法由上分析法逆推获证略;
***证法四:反证法假设,
蚅则;
薃由a+b=1,得,于是有
莇所以,
羆这与矛盾;
蚅所以;
虿证法五:放缩法∵
聿∴左边=
螄=右边;
螅点评:根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点,选用基本不等式;
肀证法六:均值换元法∵,
薇所以可设,,
螇∴左边=
袅=右边
蒁当且仅当t=0时,等号成立;
艿点评:形如a+b=1结构式的条件,一般可以采用均值换元
薆证法七:利用一元二次方程根的判别式法
羅设y=a+22+b+22,
袂由a+b=1,有,
蚇所以,
芅因为,所以,即;
肄故;
聿例2,求证:;
葿证:,同样地,利用均值不等式,我们可以得到
肄,即;
膄例3已知,求证;
蒀证:
袇例4已知,求的最大值;
肇解:由题可得当且仅当即时等式成立;
芄同理,可得;
袁故而可知其最大值为6.
蕿例5已知,求证
袆证:令,且,于是
芄;
节例6已知是正整数,求证:
肆证:当时,有
蚅于是
莄小结:
蚃1、掌握好不等式的证明,不等式的证明内容甚广,证明不但用到不等式的性质,不等式证明的技能、技巧,还要注意到横向结合内容的方方面面;如与数列的结合,与“二次曲线”的结合,与“三角函数”的结合,与“一元二次方程,一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约,这些也是近年命题的重点;
螈2、在不等式证明中还要注意数学方法,如比较法包括比差和比商、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等,还要注意一些数学技巧,如数形结合、放缩、分类讨论等;
蚇3、比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时,常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较法,即欲证
蒄4、基本思想、基本方法:
蝿⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法;
蒀⑵用分析法探索证明的途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法;
蒆⑶“分析法”证明不等式就是“执果索因”,从所证的不等式出发,不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式,直至找到显然成立的不等式,书写方法****惯上用“”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用,两个重要策略原则是:
薄正难则反原则:若从正面考虑问题比较难入手时,则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法,即我们常说的逆向思维,由结论向条件追溯;
膀简单化原则:寻求解题思路与途径,常把较复杂的问题转化为较简单的问题,在证明较复杂的不等式时,可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化,得到一个较易证明的不等式;
羈⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法;
芅⑸换元法主要指三角代换法多用于条件不等式的证明,此法若运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化成简单的三角问题;
蚄⑹含有两上字母的不等式,若可化成一边为零,而另一边是关于某字母的二次式时,这时可考虑判别式法,并注意根的取值范围和题目的限制条件;
薁⑺有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证,放缩时要看准目标,做到有的放矢,注意放缩适度;
蚀三、解不等式
羄1、解不等式问题的分类
螃1解一元一次不等式
羂2解一元二次不等式
膈3可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式
薅①解一元高次不等式;
莁②解分式不等式;
蚇③解无理不等式;
莈④解指数不等式;
莄⑤解对数不等式;
蒁⑥解带绝对值的不等式;
肈⑦解不等式组
袆2、解不等式时应特别注意下列几点:
肃1正确应用不等式的基本性质
薁2正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性
葿3注意代数式中未知数的取值范围
薈3、不等式的同解性
膆5|fx|<gx与-gx<fx<>0
薁6|fx|>gx与
袀①fx>gx或fx<-gx其中gx≥0;②gx<0同解
羅9当a>1时,afx>agx与fx>gx同解,
袅当0<a<1时,afx>agx与fx<gx同解.
蚁4、零点分段法:高次不等式与分式不等式的简洁解法
芁步骤:①形式:
蚇②首项系数符号>0——标准式,若系数含参数时,须判断或讨论系数的符号,化负为正
蚃③判断或比较根的大小
螁小结:
莇1、带等号的分式不等式求解时,要注意分母不等于0,二次函数的值恒大于0的条件是且;若恒大于或等于0,则且;若二次项系数中含参数且未指明该函;是二次函数时,必须考虑二次项系数为0这一特殊情形;
膅2、忽略对定义域的考虑以及变形过程的不等价,是解无理不等式的常见错误,因此要强化对转化的依据的思考;
蒂3、数形结合起来考虑,可以简化解题过程,特别是填空、选择题,还可利用图形验证,解题的结果;
袁4、解指数、对数不等式的过程中常用到换元法;底数是参数时,须不重不漏地分类讨论;化同底是解不等式的前提取对数也是解指数、对数不等式的常用方法之一,在取对数过程中,特别要注意必须考虑变量的取值范围;当所取对数的底数是字母时,随时要把