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:样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等;有时也会在知识交汇点处命题,如概率和统计交汇等。2。从考察形式上来看,大部分为选择题、填空题,重在考察根底知识、根本技能,有时在知识交汇点处命题,也会出现解答题,都属于中低档题.
(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取,适用范围:总体中的个体较少.
(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分,按事先确定的规那么在各部分中抽取,适用范围:总体中的个体数较多.
(3)分层抽样特点是将总体分成几层,分层进展抽取,适用范围:总体由差异明显的几部分组成.
(1)频率分布直方图
①小长方形的面积=组距×=频率;
②各小长方形的面积之和等于1;
③小长方形的高=,所有小长方形的高的和为.
(2)茎叶图
在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好.
(1)众数、中位数、平均数
数字特征
样本数据
频率分布直方图
众数
出现次数最多的数据
取最高的小长方形底边中点的横坐标
中位数
将数据按大小依次排列,处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)
把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界限和x轴交点的横坐标
平均数
样本数据的算术平均数
每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
(2)方差:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].
标准差:
s=。
(1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数.
(2)最小二乘法:对于给定的一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),通过求Q=(yi-a-bxi)2最小时,得到线性回归方程=x+的方法叫做最小二乘法.
对于取值分别是{x1,x2}和{y1,y2}的分类变量X和Y,其样本频数列联表是:
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
n
那么K2=(其中n=a+b+c+d为样本容量)。
考点一 抽样方法
例1 (2021·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C。那么抽到的人中,做问卷B的人数为 ( )
答案 C
解析 由系统抽样的特点知:抽取号码的间隔为=30,抽取的号码依次为9,39,69,…,[451,750]的有459,489,…,729,这些数构成首项为459,公差为30的等差数列,设有n项,显然有729=459+(n-1)×30,解得n=.
在系统抽样的过程中,要注意分段间隔,需要抽取几个个体,样本就需要分成几个组,那么分段间隔即为
(N为样本容量),首先确定在第一组中抽取的个体的号码数,,每一个个体被抽到的概率都是相等的,都等于样本容量和总体容量的比值.
(1)(2021·江西)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开场由左到右依次选取两个数字,那么选出来的第5个个体的编号为 ( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
(2)某单位200名职工的年龄分布情况如以下图,,将全体职工随机按1~200编号,并按编号顺序平均分为40组(1~5号,6~10号,…,196~200号).假设第5组抽出的号码为22,,那么40岁以下年龄段应抽取________人.
答案 (1)D (2)37 20
解析 (1)从第1行第5列、第6列组成的数65开场由左到右依次选出的数为:08,02,14,07,01,所以第5个个体编号为01。
(2)由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22,即第n组抽取的号码为5n-3,所以第8组抽出的号码为37;40岁以下年龄段的职工数为200×0。5=100,那么应抽取的人数为×100=20人.
考点二 用样本估计总体
例2 (1)(2021·四川)某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如以下图,以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是 ( )
(2)(2021·江苏)抽样统计甲、乙两位射击运发动的5次训练成绩(单位:环),结果如下:
运发动
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
那么成绩较为稳定(方差较小)的那位运发动成绩的方差为________.
答案 (1)A (2)2
解析 (1)由于频率分布直方图的组距为5,去掉C、D,又[0,5),[5,10)两组各一人,去掉B,应选A。
(2)甲=(87+91+90+89+93)=90,
乙=(89+90+91+88+92)=90,
s=[(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4,
s=[(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2。
(1)反映样本数据分布的主要方式有:频率分布表、频率分布直方图、,其上下可以描绘频率的大小,高考中常常考察频率分布直方图的根本知识,同时考察借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数,详细问题中要可以根据公式求解数据的均值、众数和中位数、方差等.
(2)由样本数据估计总体时,样本方差越小,数据越稳定,波动越小.
在“2021魅力新安江”青少年才艺表演评比活动中,参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,可见部分如图,据此答复以下问题:
(1)求参赛总人数和频率分布直方图中[80,90)之间的矩形的高,并完成直方图;
(2)假设要从分数在[80,100]之间任取两份进展分析,在抽取的结果中,求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.
解 (1)由茎叶图知,分数在[50,60)之间的频数为2.
由频率分布直方图知,分数在[50,60)之间的频率为
×10=。
所以参赛总人数为=25(人).
分数在[80,90)之间的人数为25-2-7-10-2=4(人),
分数在[80,90)之间的频率为=0。16,
得频率分布直方图中[80,90)间矩形的高为=0。016。
完成直方图,如图.
(2)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4;[90,100]之间的2个分数编号为5和6。
那么在[80,100]之间任取两份的根本领件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个,
其中至少有一个在[90,100]之间的根本领件为(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共9个.
故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是=。
考点三 统计案例
例3 (2021·重庆)从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)和月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得i=80,i=20,iyi=184,=720。
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a;
(2)判断变量x和y之间是正相关还是负相关;
(3)假设该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.
附:线性回归方程y=bx+a中,b=,a=-b,其中,为样本平均值,线性回归方程也可写为=x+.
解 (1)由题意知n=10,=i==8,
=i==2,
又lxx=-n2=720-10×82=80,
lxy=iyi-n=184-10×8×2=24,
由此得b===0。3,
a=-b=2-×8=-,
故所求线性回归方程为y=-0。4。
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b=0。3〉0),
故x和y之间是正相关.
(3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=×7-=(千元).
(1)对具有线性相关关系的两个变量可以用最小二乘法求线性回归方程,求是关键,其中==.
(2)在利用统计变量K2(χ2)进展独立性检验时,应该注意数值的准确代入和正确计算,最后把计算的结果和有关临界值相比较.
(1)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2(χ2)=算得,
K2(χ2)=≈7。8.
附表:
P(K2(χ2)≥k)
0。050
0。010
k
10。828
参照附表,得到的正确结论是 ( )
%的前提下,认为“爱好该项运动和性别有关”
。1%的前提下,认为“爱好该项运动和性别无关”
%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”
%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”
(2)x、y取值如下表:
x
0
1
4
5
6
8
y
5。6
6。1
7。4
从所得的散点图分析可知:y和x线性相关,且=+,那么等于 ( )
。
答案 (1)C (2)B
解析 (1)根据独立性检验的定义,由K2(χ2)≈〉%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”,应选C。
(2)依题意得,=×(0+1+4+5+6+8)=4,
=(+1。8++6。1++9。3)=;
又直线=0。95x+必过样本点中心(,),即点(4,),=0。95×4+,由此解得=1。45。
(1)在频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应的频率,各小长方形的面积的和为1。
(2)众数、中位数及平均数的异同
众数、中位数及平均数都是描绘一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量.