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竖排叫列横排叫行
(从左往右看)(从下往上看)
(从前往后看)
2、图形左右平移行数不变;图形上下平移列数不变。
3、两点间的距离与基准点(0,0)的选择无关,基准点不同导致数对不同,两点间但距离不变。
第二单元分数乘法
(一)分数乘法意义:
六年级上册数学知识点1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数的和的简便运算。
第一单元位置
1、什么是数对?注:“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数,不
——数对:由两个数组成,中间用逗号隔开,用括号括起来。括号里面的数由左至右为列数和行数,即“先列后行”。能是分数。
33
例如:×7表示:求7个的和是多少?或表示:
55
作用:确定一个点的位置。经度和纬度就是这个原理。3
的7倍是多少?
例:在方格图(平面直角坐标系)中用数对(3,5)表示5
(第三列,第五行)。2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。
注:(1)在平面直角坐标系中横轴上的坐标表示列,纵轴上的坐标表示行。如:数对(3,2)表示第三列,第二行。注:“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数,不能是整数。(第一个因数是什么都可以)
(2)数对(X,5)的行号不变,表示一条横线,3131
例如:×表示:求的是多少?
(5,Y)的列号不变,表示一条竖线。(有一个数不确定,不能确定一个点)5656
11
9×表示:求9的是多少?
行号66
4(列,行)11
3A×表示:求a的是多少?
↓↓66
2
1
0123456列号:.
(二)分数乘法计算法则:一个数(0除外)乘等于1的数,积等于这个数。a×b=c,
1、分数乘整数的运算法则是:分子与整数相乘,分母不变。当b=1时,c=a.
注:在进行因数与积的大小比较时,要注意因数为0时的
注:(1)为了计算简便能约分的可先约分再计算。特殊情况。
(整数和分母约分)
1111
(2)约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。附:形如的分数可折成()×
a(ab)aabb
(整数千万不能与分母相乘,计算结果必须是最简分数)
2、分数乘分数的运算法则是:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。(分子乘分子,分母乘分母)(四)分数乘法混合运算
1、分数乘法混合运算顺序与整数相同,先乘、除后加、减,有括号的先算括号里面的,再算括号外面的。
注:(1)如果分数乘法算式中含有带分数,要先把带
分数化成假分数再计算。2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用;运算定律可以使一些计算简便。
(2)分数化简的方法是:分子、分母同时除以它
们的最大公因数。乘法交换律:a×b=b×a
(3)在乘的过程中约分,是把分子、分母中,两乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
个可以约分的数先划去,再分别在它们的上、下方写出约分后的数。(约分后分子和分母必须不再含有公因数,这样计算后的结果才是最简单分数)乘法分配律:a×(b±c)=a×b±a×c
(五)倒数的意义:乘积为1的两个数互为倒数。
1、倒数是两个数的关系,它们互相依存,不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。(必须说清谁是谁的倒数)
(4)分数的基本性质:分子、分母同时乘或者除以
一个相同的数(0除外),分数的大小不变。2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是:两数相乘的积是否为“1”。
(三)积与因数的关系:
一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。a×b=c,例如:a×b=1则a、b互为倒数。
当b>1时,c>、求倒数的方法:
一个数(0除外)乘小于1的数,积小于这个数。a×b=c,①求分数的倒数:交换分子、分母的位置。
当b<1时,c<a(b≠0).②求整数的倒数:整数分之1。
③求带分数的倒数:先化成假分数,再求倒数。:.
④求小数的倒数:先化成分数再求倒数。
(几)
4、1的倒数是它本身,因为1×1=12、(什么)是(什么)的。
(几)
0没有倒数,因为任何数乘0积都是0,且0不能作分
母。
(几)
1()=(“1”)×
5、任意数a(a≠0),它的倒数为;非零整数a的倒数为(几)
a
1ba3
;分数的倒数是。例1:已知甲数是乙数的,乙数是25,求甲数是多少?
aab5
6、真分数的倒数是假分数,真分数的倒数大于1,也大于33
甲数=乙数×即25×=15
它本身。55
假分数的倒数小于或等于1。3
注:(1)“是”“的”字中间的量“乙数”是的单位
带分数的倒数小于1。5
(六)分数乘法应用题——用分数乘法解决问题3
“1”的量,即是把乙数看作单位“1”,把乙数平均分
1、求一个数的几分之几是多少?(用乘法)5
成5份,甲数是其中的3份。
“1”×b=(2)“是”“占”“比”这三个字都相当于“=”号,“的”字相当于“×”。
a
33(3)单位“1”的量×分率=分率对应的量
例如:求25的是多少?列式:25×=15
55例2:甲数比乙数多(少)3,乙数是25,求甲数是多少?
35
甲数的等于乙数,已知甲数是25,求乙数是多少?
5
333
列式:25×=15甲数=乙数± 乙数×即25±25×=25×(1±
555
注:已知单位“1”的量,求单位“1”的量的几分之几是多少,用单位“1”的量与分数相乘。3
)=40(或10)
5:.
3、巧找单位“1”的量:在含有分数(分率)的语句中,分率前面的量就是单位“1”对应的量,或者“占”“是”“比”字后面的量是单位“1”。②除以小于1的数,商大于被除数:a÷b=c当b<1时,
c>a(a≠0b≠0)
③除以等于1的数,商等于被除数:a÷b=c当b=1时,
c=a
4、什么是速度?三、分数除法混合运算
——速度是单位时间内行驶的路程。速度=路程÷时间1、混合运算用梯等式计算,等号写在第一个数字的左下角。
时间=路程÷速度路程=速度×时间
——单位时间指的是1小时1分钟1秒等这样的大小为2、运算顺序:
1的时间单位,每分钟、每小时、每秒钟等。①连除:属同级运算,按照从左往右的顺序进行计算;或者先把所有除法转化成乘法再计算;或者依据“除以几个数,等于乘上这几个数的积”的简便方法计算。加、减法为一级运算,乘、除法为二级运算。
5、求甲比乙多(少)几分之几?
多:(甲-乙)÷乙(甲—乙)差
=
少:(乙-甲)÷乙比字后面的量比后
第三单元分数除法②混合运算:没有括号的先乘、除后加、减,有括号的先算括号里面,再算括号外面。
一、分数除法的意义:分数除法是分数乘法的逆运算,已知两个数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
注:(a±b)÷c=a÷c±b÷c
二、分数除法计算法则:除以一个数(0除外),等于乘四、比:两个数相除也叫两个数的比
上这个数的倒数。1、比式中,比号(∶)前面的数叫前项,比号后面的项叫做后项,比号相当于除号,比的前项除以后项的商叫做比值。
1、被除数÷除数=被除数×除数的倒数。例3÷3=3×1=1
5535
3÷3=3×5=5注:连比如:3:4:5读作:3比4比5
532、比表示的是两个数的关系,可以用分数表示,写成分数的形式,读作几比几。
2、除法转化成乘法时,被除数一定不能变,“÷”变成“×”,除数变成它的倒数。
3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。前项
123
例:12∶20==12÷20==∶20读作:12
4、被除数与商的变化规律:205
①除以大于1的数,商小于被除数:a÷b=c当b>1时,比20
c<a(a≠0)后项后项
比号比值:.
前项附:商不变性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
注:区分比和比值:比值是一个数,通常用分数表示,
也可以是整数、小数。比是一个式子,表示两个数的关系,可以写成比,也可以写成分数的形式。分数的基本性质:分子和分母同时乘或除以相同的数
(0除外),分数的大小不变。
3、比的基本性质:比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外),比值不变。五、分数除法和比的应用
3
1、已知单位“1”的量用乘法。例:甲是乙的,乙是
3、化简比:化简之后结果还是一个比,不是一个数。5
(1)、用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。25,
(2)、两个分数的比,用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法来化简。也可以求出比值再写成比的形式。33
求甲是多少?即:甲=乙×(15×=9)
55
3
2、未知单位“1”的量用除法。例:甲是乙的,甲是
(3)、两个小数的比,向右移动小数点的位置,也是先化成整数比。5
33
15,求乙是多少?即:甲=乙×(15÷=25)(建议列方
4、求比值:把比号写成除号再计算,结果是一个数(或分数),相当于商,不是比。55
程答)
5、比和除法、分数的区别:3、分数应用题基本数量关系(把分数看成比)
被除数(1)甲是乙的几分之几?
除法除号(÷)除数(不能为0)商不变性质除法是一种运算
3
甲=乙×几分之几(例:甲是15的,求甲是多少?
5
分数线(——)15×3=9)
分数分子分母(不能为0)分数的基本性质分数是一个数
5
3
乙=甲÷几分之几(例:9是乙的,求乙是多少?
前项比号(∶)后项(不能为0)比的基本性质比表示两个数的关系5
比
3
9÷=15)
5:.
几分之几=甲÷乙(例:9是15的几分之几?9÷15=几2
E、乙=甲÷(1±)(例:9比乙少,求乙是多少?
3几5
)(“是”字相当“÷”号,乙是单位“1”)
523
9÷(1-)=9÷=15)(多是“+”少是“–”)
(2)甲比乙多(少)几分之几?55
差22
A、差÷乙=(“比”字后面的量是单位“1”的量)(例:15比乙多,求乙是多少?15÷(1+)=15
乙33
(例:9比15少几分之几?(15-9)5
÷=9)(多是“+”少是“–”)
159623
÷15===)
151554、按比例分配:把一个量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。
甲
B、多几分之几是:–1
乙例如:已知甲乙的和是56,甲、乙的比3∶5,求甲、乙分
1552别是多少?
(例:15比9少几分之几?15÷9=-1=–1=)
933方法一:56÷(3+5)=7甲:3×7=21乙:5×7=35
甲35
C、少几分之几是:1–方法二:甲:56×=21乙:56×=35
乙3535
932例如:已知甲是21,甲、乙的比3∶5,求乙是多少?
(例:9比15少几分之几?1-9÷15=1–=1–=)
1555方法一:21÷3=7乙:5×7=35
差几几35
D、甲=乙±差=乙±乙×=乙±乙×=乙(1±)方法二:甲乙的和21÷=56乙:56×=35
乙几几3535
22333
(例:甲比15少,求甲是多少?15–15×=15×(1–方法三:甲÷乙=乙=甲÷=21÷=35
55555
25、画线段图:
)=9(多是“+”少是“–”)
5(1)找出单位“1”的量,先画出单位“1”,标出已知和未知。
(2)分析数量关系。:.
(3)找等量关系。有一条对称轴的图形:半圆、扇形、等腰梯形、等腰
(4)列方程。三角形、角
注:两个量的关系画两条线段图,部分和整体的关系画一条线段图。有二条对称轴的图形:长方形
有三条对称轴的图形:等边三角形
第四单元圆有四条对称轴的图形:正方形
一、.圆的特征有无条对称轴的图形:圆,圆环
6、画圆
1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形,.
(1)圆规两脚间的距离是圆的半径。
2、圆的特征:外形美观,易滚动。
3、圆心o:(2)画圆步骤:定半径、定圆心、旋转一周。
二、圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,周长用字母C表示。
,折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。
半径r:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同1、圆的周长总是直径的三倍多一些。
2、圆周率:圆的周长与直径的比值是一个固定值,叫做圆周率,用字母π表示。
一个圆里,有无数条半径,且所有的半径都相等。半径确定圆的大小。
直径d:通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在周长
即:圆周率π==周长÷直径≈
直径
同一个圆里,有无数条直径,且所有的直径都相等。直径是圆内最长的线段。
所以,圆的周长(c)=直径(d)×圆周率(π)——周长公式:
1dc=πd,c=2πr
同圆或等圆内直径是半径的2倍:d=2r或r=d÷2=d=注:圆周率π是一个无限不循环小数,。
22
4、等圆:半径相等的圆叫做同心圆,等圆通过平移可以完全重合。
3、周长的变化的规律:半径扩大多少倍直径也扩大多少倍,周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。
同心圆:圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。
如果r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3
5、圆是轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。
1
4、半圆周长=圆周长一半+直径=×2πr=πr+d
2:.
三、圆的面积s4、环形面积=大圆–小圆=πr2-πr2=π(r2-
大小大
1、圆面积公式的推导r2)
小
如图把一个圆沿直径等分成若干份,剪开拼成长方形,份2n
扇形面积=πr×(n表示扇形圆心角的度数)
数越多拼成的图像越接近长方形。360
5、跑道:每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。因为两条直跑道长度相等,所以,起跑线不同,相邻两条跑道起跑线也不同,间隔的距离是:2×π×跑道宽度。
圆的半径=长方形的宽注:一个圆的半径增加a厘米,周长就增加2πa厘米
圆的周长的一半=长方形的长一个圆的直径增加b厘米,周长就增加πb厘米
长方形面积=长×宽6、任意一个正方形的内切圆即最大圆的直径是正方形的边长,它们的面积比是4:π
所以:圆的面积=长方形的面积=长×宽=圆的周长的一半(πr)×圆的半径(r)
7、常用数据:π=====
S圆=πr×r=πr2
2、几种图形,在面积相等的情况下,圆的周长最短,而长方形的周长最长;反之,在周长相等的情况下,圆的面积则最大,而长方形的面积则最小。第五单元、百分数
一、百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几。
注:百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的,表示两个数的比,所以,百分数又叫百分比或百分率,百分数不能带单位。
周长相同时,圆面积最大,利用这一特点,篮子、盘子
做成圆形。
3、圆面积的变化的规律:半径扩大多少倍直径、周长也同时扩大多少倍,圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。1、百分数和分数的区别和联系:
(1)联系:都可以用来表示两个量的倍比关系。
(2)区别:意义不同:百分数只表示倍比关系,不表
如果:r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3=2∶3∶4示具体数量,所以不能带单位。分数不仅表示倍比关系,还能带单位表示具体数量。
则:S1∶S2∶S3=4∶9∶16百分数的分子可以是小数,分数的分子只以是整数。:.
注:百分数在生活中应用广泛,所涉及问题基本和分数问题相同,分母是100的分数并不是百分数,必须把分母写求乙比甲少百分之几(甲-乙)÷甲
成“%”才是百分数,所以“分母是100的分数就是百分数”3、求一个数的百分之几是多少一个数(单位“1”)×百分率
这句话是错误的。“%”的两个0要小写,不要与百分数前
面的数混淆。一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增4、已知一个数的百分之几是多少,求这个数部分量÷百分率=一个数(单位“1”)
长了百分之几等可以超过100%。一般出粉率在70、80%,
出油率在30、40%。5、折扣折扣、打折的意义:几折就是十分之几也就是百分之几十
2、小数、分数、百分数之间的互化通用
折扣成数几分之几百分之几小数
(1)百分数化小数:小数点向左移动两位,去掉“%”。
(2)小数化百分数:小数点向右移动两位,添上“%”。百分之八
(3)百分数化分数:先把百分数写成分母是100的分数,十
然后再化简成最简分数。八五八成十分之八百分之八
(4)分数化百分数:分子除以分母得到小数,(除不尽的保留三位小数)然后化成百分数。
折五点五十五
百分之五半价
(5)小数化分数:把小数成分母是10、100、1000等的十
分数再化简。6、纳税缴纳的税款叫做应纳税额。
(6)分数化小数:分子除以分母。(应纳税额)÷(总收入)=(税率)
二、百分数应用题(应纳税额)=(总收入)×(税率)
1、求常见的百分率如:达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几7、利率
(1)存入银行的钱叫做本金。
2、求一个数比另一个数多(或少)百分之几,实际生活中,人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。(2)取款时银行多支付的钱叫做利息。
(3)利息与本金的比值叫做利率。
利息=本金×利率×时间
求甲比乙多百分之几(甲-乙)÷乙税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×5%:.
注:国债和教育储蓄的利息不纳税⑩甲比乙多25%,多10,甲是多少?10÷25%+10=50
8、百分数应用题型分类⑪乙比甲少20%,少10,甲是多少?10÷20%=50
(1)求甲是乙的百分之几——(甲÷乙)×100%=甲×100%=⑪乙比甲少20%,少10,乙是多少?10÷20%-10=40
乙⑪乙是40,甲比乙多25%,甲数是多少?(什么数比40
百分之几多25%?)40×(1+25%)=50
差差⑪甲是50,乙比甲少20%,乙数是多少?(什么数比50
(2)求甲比乙多(少)百分之几——×100%=×100%
比字后面乙多25%?)50×(1-20%)=40
例:⑪乙是40,比甲少20%,甲数是多少?(40比什么数少
①甲是50,乙是40,甲是乙的百分之几?(50是40的20%?)40÷(1-20%)=50
百分之几?)50÷40=125%⑪甲是50,比乙多25%,乙数是多少?(50比什么数多
②甲是50,乙是40,乙是甲的百分之几?(40是50的25%?)40÷(1+25%)=40
百分之几?)40÷50=80%第六单元、统计
③乙是40,甲是乙的125%,甲数是多少?(40的125%是1、扇形统计图的意义:用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间关系,也就是各部分数量占总数的百分比,因此也叫百分比图。
多少?)40×125%=50
④甲是50,乙是甲的80%,乙数是多少?(50的80%是多
少?)50×80%=402、常用统计图的优点:
⑤乙是40,乙是甲的80%,甲数是多少?(一个数的80%(1)、条形统计图直观显示每个数量的多少。
是40,这个数是多少?)40÷80%=50(2)、折线统计图不仅直观显示数量的增减变化,还可清晰看出各个数量的多少。
⑥甲是50,甲是乙的125%,乙数是多少?(一个数的
125%是50,这个数是多少?)50÷125%=40(3)、扇形统计图直观显示部分和总量的关系。
⑦甲是50,乙是40,甲比乙多百分之几?(50比40多第七单元、数学广角
百分之几?)(50-40)÷40×100%=25%一、研究中国古代的鸡兔同笼问题。
⑧甲是50,乙是40,乙比甲少百分之几?(40比50少1、用表格方式解决有局限性,数目必须小,例:
百分之几?)(50-40)÷50×100%=20%头数鸡(只)兔(只)腿数
⑨甲比乙多25%,多10,乙是多少?10÷25%=4035134:.
35233x=25
35332100-25=75人
……方法二,鸡兔同笼法:
(逐一列表法、腿数少,小幅度跳跃;腿数多,大幅度跳跃。跳跃逐一相结合、取中列表)(1)假设100人全是大和尚,应吃馒头多少个?
3×100=300(个).
2、用假设法解决(2)这样多吃了几个呢?
(1)假如都是兔300-100=200(个).
(2)假如都是鸡(3)为什么多吃了200个呢?这是因为把小和尚当成大和尚。那么
(3)假如它们各抬起一条腿把小和尚当成大和尚时,每个小和尚多算了几个馒头?3-=(个)
(4)假如兔子抬起两条前腿18
3、用代数方法解(一般规律)33
二、和尚分馒头(4)每个小和尚多算了8/3个馒头,一共多算了200个,所以小和
100个和尚吃100个馒头,大和尚一人吃3个,小和尚三人吃一个。8
尚有:小和尚:200÷=75(人)大和尚:100-75=25(人)
大小和尚各多少人?3
国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题:一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁?"方法三,分组法:
由于大和尚一人分3只馒头,小和尚3人分一只馒头。我们可以把
3个小和尚与1个大和尚编为一组,这样每组4个和尚刚好分4个
如果译成白话文,其意思是:有100个和尚分100只馒头,正好分馒头,那么100个和尚总共分为100÷(3+1)=25组,因为每组有
完。如果大和尚一人分3只,小和尚3人分一只,试问大、小和尚1个大和尚,所以有25个大和尚;又因为每组有3个小和尚,所以
各有几人?有25×3=75个小和尚。这是《直指算法统宗》里的解法,原话是:
方法一,用方程解:"置僧一百为实,以三一并得四为法除之,得大僧二十五个。"所谓"实"便是"被除数","法"便是"除数"。列式就是:
解:设大和尚有x人,则小和尚有(100-x)人,根据题意列得方程:
100÷(3+1)=25(组)大和尚:25×1=25(人)
1小和尚:100-25=75(人)或25×3=75(人)
3x+(100-x)=100
3我国古代劳动人民的智慧由此可见一斑。:.
三、整数、分数、百分数应用题结构类型
(一)求甲是乙的几倍(或几分之几或百分之几)的应用题。
解法:甲数除以乙数
例:校园里有杨树40棵,柳树有50棵,杨树的棵树占柳树的百分
之几?(或几分之几?)
(二)求甲数的几倍(或几分之几或百分之几)是多少的应用题。
解答分数应用题,首先要确定单位“1”,在单位“1”确定以后,一个具体数量总与一个具体分数(分率)相对应,这种关系叫“量率对应”,这是解答分数应用题的关键。
求一个数的几倍(几分之几或百分之几)是多少用乘法,单位“1”×分率=对应数量
5
例:六年级有学生180人,五年级的学生人数是六年级人数的6。
5
五年级有学生多少人?180×6=150
(三)已知甲数的几倍(或几分之几或百分之几)是多少,求甲数(即求标准量或单位“1”)的应用题。
解法:对应数量÷对应分率=单位“1”
3
例:育红小学六年级男生有120人,占参加兴趣活动小组人数的5.
六年级参加兴趣活动小组人数共有学生多少人?
3
120÷5=200(人)