人教版高中数学知识点总结.pdf

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人教版高中数学知识点总结
,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
如:集合Ax|ylgx,By|ylgx,C(x,y)|ylgx,A、B、C
中元素各表示什么?
、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
2
如:集合Ax|x2x30,Bx|ax1
若BA,则实数a的值构成的集合为
1
(答:1,0,)
3
:
n
(1)集合a1,a2,……,an的所有子集的个数是2;
(2)若ABABA,ABB;
(3)德摩根定律:
CUABCUACUB,CUABCUACUB
?(排除法、间接法)
ax5
如:已知关于x的不等式20的解集为M,若3M且5M,求实数a
xa
的取值范围。
a·35
(∵3M,∴20
3a5

a1,9,25)
3
a·55
∵5M,∴20
5a
,逻辑连接词有“或”(),“且”()和
“非”().
若pq为真,当且仅当p、q均为真
若pq为真,当且仅当p、q至少有一个为真:.
若p为真,当且仅当p为假
?
(互为逆否关系的命题是等价命题。)
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对
应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)
?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
?
x4x
例:函数y2的定义域是
lgx3
(答:0,22,33,4)
?
如:函数f(x)的定义域是a,b,ba0,则函数F(x)f(x)f(x)的定
义域是_____________。
(答:a,a)
,注明函数的定义域了吗?
如:fx1exx,求f(x).

令tx1,则t0
2
∴xt1
t212
∴f(t)et1
x212
∴f(x)ex1x0
?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)
1xx0
如:求函数f(x)2的反函数
xx0
x1x1
(答:f1(x))

xx0
?:.
①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
③设yf(x)的定义域为A,值域为C,aA,bC,则f(a)=bf1(b)a
111
ff(a)f(b)a,ff(b)f(a)b
?
(取值、作差、判正负)
如何判断复合函数的单调性?
(yf(u),u(x),则yf(x)
(外层)(内层)
当内、外层函数单调性相同时f(x)为增函数,否则f(x)为减函数。)
2
如:求ylog1x2x的单调区间
2
2
(设ux2x,由u0则0x2
2
且log1u,ux11,如图:
2
u
O12x
当x(0,1]时,u,又log1u,∴y
2
当x[1,2)时,u,又log1u,∴y
2
∴……)
?
在区间a,b内,若总有f'(x)0则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于
零,不影响函数的单调性),反之也对,若f'(x)0呢?
如:已知a0,函数f(x)x3ax在1,上是单调增函数,则a的最大

值是()
:.
2aa
(令f'(x)3xa3xx0
33
aa
则x或x
33
a
由已知f(x)在[1,)上为增函数,则1,即a3
3
∴a的最大值为3)
(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)
若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称
若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称
注意如下结论:
(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一
个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则f(0)0。
a·2xa2
如:若f(x)x为奇函数,则实数a
21
(∵f(x)为奇函数,xR,又0R,∴f(0)0
a·20a2
即00,∴a1)
21
2x
又如:f(x)为定义在(1,1)上的奇函数,当x(0,1)时,f(x)x,
41
求f(x)在1,1上的解析式。
2x
(令x1,0,则x0,1,f(x)x
41
2x2x
又f(x)为奇函数,∴f(x)xx
4114:.
2xx(1,0)
x
41x0
又f(0)0,∴f(x))
x
2
xx0,1
41
?
(若存在实数T(T0),在定义域内总有fxTf(x),则f(x)为周期
函数,T是一个周期。)
如:若fxaf(x),则
(答:f(x)是周期函数,T2a为f(x)的一个周期)
又如:若f(x)图象有两条对称轴xa,xb
即f(ax)f(ax),f(bx)f(bx)
则f(x)是周期函数,2ab为一个周期
如:
?
f(x)与f(x)的图象关于y轴对称
f(x)与f(x)的图象关于x轴对称
f(x)与f(x)的图象关于原点对称
1
f(x)与f(x)的图象关于直线yx对称
f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称
f(x)与f(2ax)的图象关于点(a,0)对称:.
左移a(a0)个单位yf(xa)
将yf(x)图象
右移a(a0)个单位yf(xa)
上移b(b0)个单位yf(xa)b

下移b(b0)个单位yf(xa)b
注意如下“翻折”变换:
f(x)f(x)
f(x)f(|x|)
如:f(x)log2x1
作出ylog2x1及ylog2x1的图象
y
y=log2x
O1x
?
(k<0)y(k>0)
y=b
O’(a,b)
Ox
x=a
(1)一次函数:ykxbk0
kk
(2)反比例函数:yk0推广为ybk0是中心O'(a,b)
xxa
的双曲线。
22
2b4acb
(3)二次函数yaxbxca0ax图象为抛物线
2a4a
b4acb2b
顶点坐标为,,对称轴x
2a4a2a:.
2
4acb
开口方向:a0,向上,函数ymin
4a
2
4acb
a0,向下,ymax
4a
应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
ax2bxc0,0时,两根x、x为二次函数yax2bxc的图象与x轴
12
2
的两个交点,也是二次不等式axbxc0(0)解集的端点值。
②求闭区间[m,n]上的最值。
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
0
b
2
如:二次方程axbxc0的两根都大于kk
2a
f(k)0
y
(a>0)
Okx1x2x
一根大于k,一根小于kf(k)0
(4)指数函数:yaxa0,a1

(5)对数函数ylogaxa0,a1
由图象记性质!(注意底数的限定!)
y
x
y=a(a>1)
(0<a<1)y=logax(a>1)
1
O1x
(0<a<1):.
k
(6)“对勾函数”yxk0
x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?
y
k
Okx
?
0p1
指数运算:a1(a0),ap(a0)
a
mm
nnmn1
aa(a0),a(a0)
nam
对数运算:logaM·NlogaMlogaNM0,N0
Mn1
logalogaMlogaN,logaMlogaM
Nn
对数恒等式:alogaxx
logcbnn
对数换底公式:logablogamblogab
logcam
?
(赋值法、结构变换法)
如:(1)xR,f(x)满足f(xy)f(x)f(y),证明f(x)为奇函数。
(先令xy0f(0)0再令yx,……)
(2)xR,f(x)满足f(xy)f(x)f(y),证明f(x)是偶函数。
(先令xytf(t)(t)f(t·t)
∴f(t)f(t)f(t)f(t)
∴f(t)f(t)……)
(3)证明单调性:f(x2)fx2x1x2……:.
?
(二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单
调性法,导数法等。)
如求下列函数的最值:
(1)y2x3134x
2x4
(2)y
x3
2x2
(3)x3,y
x3
(4)yx49x2设x3cos,0,

9
(5)y4x,x(0,1]
x
?能写出圆心角为α,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?
112
(l·R,S扇l·R·R)
22
R
1弧度
OR
,单位圆中三角函数线的定义
sinMP,cosOM,tanAT
y
T
BS
P
α
OMAx

如:若0,则sin,cos,tan的大小顺序是
8:.

又如:求函数y12cosx的定义域和值域。
2

(∵12cosx)12sinx0
2
2
∴sinx,如图:
2
5
∴2kx2kkZ,0y12
44
、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、
对称轴吗?
sinx1,cosx1
y
ytgx
x
O

22
:.

对称点为k,0,kZ
2

ysinx的增区间为2k,2kkZ
22
3
减区间为2k,2kkZ
22

图象的对称点为k,0,对称轴为xkkZ
2
ycosx的增区间为2k,2kkZ
减区间为2k,2k2kZ

图象的对称点为k,0,对称轴为xkkZ
2

ytanx的增区间为k,kkZ
22
=Asinx+的图象和性质要熟记。或yAcosx
2
(1)振幅|A|,周期T
||
若fx0A,则xx0为对称轴。
若fx00,则x0,0为对称点,反之也对。
3
(2)五点作图:令x依次为0,,,,2,求出x与y,依点
22
(x,y)作图象。
(3)根据图象求解析式。(求A、、值):.
(x1)0

如图列出
(x2)
2
解条件组求、值

正切型函数yAtanx,T
||
——先求出某一个三角函数值,再判定角
的范围。
23
如:cosx,x,,求x值。
622
375513
(∵x,∴x,∴x,∴x)
26636412
、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?
如:函数ysinxsin|x|的值域是
(x0时,y2sinx2,2,x0时,y0,∴y2,2)
?
(平移变换、伸缩变换)
平移公式:
x'xh
a(h,k)
(1)点P(x,y)P'(x',y'),则
平移至y'yk

(2)曲线f(x,y)0沿向量a(h,k)平移后的方程为f(xh,yk)0

如:函数y2sin2x1的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的
4
图象?
横坐标伸长到原来的2倍1
(y2sin2x1y2sin2x1
424

左平移个单位
4上平移1个单位
2sinx1y2sinx1y2sinx
4
1
纵坐标缩短到原来的倍
2ysinx)
?:.
2222
如:1sincossectantan·cotcos·sectan
4

sincos0……称为1的代换。
2

“k·”化为的三角函数——“奇变,偶不变,符号看象限”,
2
“奇”、“偶”指k取奇、偶数。
97
如:costansin21
46
sintan
又如:函数y,则y的值为
coscot

sin
sinsin2cos1
cos
(y20,∵0)
coscossin1
cos
sin
、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗?
理解公式之间的联系:
令
sinsincoscossinsin22sincos
令22
coscoscossinsincos2cossin
tantan22
tan2cos112sin
1tan·tan
21cos2
cos
2tan2
tan22
1tan21cos2
sin
2
22b
asinbcosabsin,tan
a

sincos2sin
4

sin3cos2sin
3
应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不
含三角函数,能求值,尽可能求值。)
具体方法:

(1)角的变换:如,……
222:.
(2)名的变换:化弦或化切
(3)次数的变换:升、降幂公式
(4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。
sincos2
如:已知1,tan,求tan2的值。
1cos23
sincoscos1
(由已知得:21,∴tan
2sin2sin2
2
又tan
3
21
tantan
321
∴tan2tan)
1tan·tan218
1·
32
、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜三角形?
b2c2a2
222
余弦定理:abc2bccosAcosA
2bc
(应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。)
a2RsinA
abc
正弦定理:2Rb2RsinB
sinAsinBsinC
c2RsinC
1
Sa·bsinC
2
∵ABC,∴ABC
ABC
∴sinABsinC,sincos
22
2AB
如ABC中,2sincos2C1
2
(1)求角C;
c2
22
(2)若ab,求cos2Acos2B的值。
2
2
((1)由已知式得:1cosAB2cosC11
2
又ABC,∴2cosCcosC10
1
∴cosC或cosC1(舍)
2

又0C,∴C
3:.
2212
(2)由正弦定理及abc得:
2
22223
2sinA2sinBsinCsin
34
3
1cos2A1cos2B
4
3
∴cos2Acos2B)
4
。

反正弦:arcsinx,,x1,1
22
反余弦:arccosx0,,x1,1

反正切:arctanx,,xR
22
?
c0acbc
(1)ab,
c0acbc
(2)ab,cdacbd
(3)ab0,cd0acbd
1111
(4)ab0,ab0
abab
nnnn
(5)ab0ab,ab
(6)|x|aa0axa,|x|axa或xa
11
如:若0,则下列结论不正确的是()
ab
b2
ab
C.|a||b||ab|D.2
ba
答案:C
:
2
22ab
ab2aba,bR;ab2ab;ab求最值时,你是否注
2
意到“a,bR”且“等号成立”时的条件,积(ab)或和(ab)其中之一为定:.
值?(一正、二定、三相等)
注意如下结论:
a2b2ab2ab
aba,bR
22ab
当且仅当ab时等号成立。
a2b2c2abbccaa,bR

当且仅当abc时取等号。
ab0,m0,n0,则
bbmana
1
aambnb
4
如:若x0,23x的最大值为
x
4
(设y23x2212243
x
423
当且仅当3x,又x0,∴x时,ymax243)
x3
又如:x2y1,则2x4y的最小值为
x2yx2y1
(∵222222,∴最小值为22)
?
(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)
并注意简单放缩法的应用。
111
如:证明122…22
23n
111111
(122……21……
23n1223n1n
11111
11……
223n1n
1
22)
n
f(x)
aa0的一般步骤是什么?
g(x)
(移项通分,分子分母因式分解,x的系数变为1,穿轴法解得结果。):.
“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开始
23
如:x1x1x20

如:对数或指数的底分a1或0a1讨论
?
(找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。)
例如:解不等式|x3|x11
1
(解集为x|x)
2
|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问题
如:设f(x)x2x13,实数a满足|xa|1
求证:f(x)f(a)2(|a|1)
22
证明:|f(x)f(a)||(xx13)(aa13)|
|(xa)(xa1)|(|xa|1)
|xa||xa1||xa1|
|x||a|1
又|x||a||xa|1,∴|x||a|1
∴f(x)f(a)2|a|22|a|1
(按不等号方向放缩)
,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△”问题)
如:af(x)恒成立af(x)的最小值
af(x)恒成立af(x)的最大值
af(x)能成立af(x)的最小值
例如:对于一切实数x,若x3x2a恒成立,则a的取值范围是:.
(设ux3x2,它表示数轴上到两定点2和3距离之和
umin325,∴5a,即a5
或者:x3x2x3x25,∴a5)

定义:an1and(d为常数),ana1n1d
等差中项:x,A,y成等差数列2Axy
a1annnn1
前n项和Snna1d
22
性质:an是等差数列
(1)若mnpq,则amanapaq;
(2)数列a2n1,a2n,kanb仍为等差数列;
Sn,S2nSn,S3nS2n……仍为等差数列;
(3)若三个数成等差数列,可设为ad,a,ad;
amS2m1
(4)若an,bn是等差数列Sn,Tn为前n项和,则;
bmT2m1
2
(5)an为等差数列Snanbn(a,b为常数,是关于n的常数项为
0的二次函数)
2
Sn的最值可求二次函数Snanbn的最值;或者求出an中的正、负分界
项,即:
an0
当a10,d0,解不等式组可得Sn达到最大值时的n值。
an10
an0
当a10,d0,由可得Sn达到最小值时的n值。
an10
如:等差数列an,Sn18,anan1an23,S31,则n
(由anan1an233an13,∴an11:.
a1a31
又S3·33a21,∴a2
23
1
1n
a1anna2an1·n3
∴Sn18
222
n27)

an1n1
定义:q(q为常数,q0),ana1q
an
等比中项:x、G、y成等比数列G2xy,或Gxy
na1(q1)
n
前n项和:Sna11q(要注意!)
(q1)
1q
性质:an是等比数列
(1)若mnpq,则am·anap·aq
(2)Sn,S2nSn,S3nS2n……仍为等比数列
?
(n1时,a1S1,n2时,anSnSn1)
?
例如:(1)求差(商)法
111
如:an满足a12a2……nan2n51
222
1
解:n1时,a1215,∴a114
2
111
n2时,a12a2……n1an12n152
222
1
12得:nan2
2
n1
∴an2
14(n1)
∴ann1
2(n2):.
[练****br/>5
数列an满足SnSn1an1,a14,求an
3
Sn1
(注意到an1Sn1Sn代入得:4
Sn
又S4,∴S是等比数列,S4n
1nn
n2时,aSS……3·4n1
nnn1
(2)叠乘法
an1n
例如:数列an