八年级数学上册知识点.pdf

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互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦
第一章勾股定理
成立。
222
一、勾股定理:直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即abc
2、绝对值
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二、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有关系abc,那么这个三角形是直
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。(|a|≥0)。零的绝对值是它本身,也
角三角形。可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
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三、勾股数:满足abc的三个正整数,称为勾股数。常见的勾股数组有:(3,4,5);3、倒数
(5,12,13);(8,15,17);(7,24,25);(20,21,29);(9,40,41);……(这些勾股数组如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
的倍数仍是勾股数)4、数轴
第二章实数规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
一、实数的概念及分类
1、实数的分类5、估算
三、平方根、算数平方根和立方根
自然数(0,1,2,3)
整数
1、算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平
负整数(1,2,3)

12
有理数(整数、有限小数、无限循环小数)方根。特别地,0的算术平方根是0。
正分数(,)
分数(小数)23a
实数12表示方法:记作“”,读作根号a。
负分数(,)
23性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。

正有理数2、平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(或二次
无理数(无限不循环小数)

负有理数方根)。
2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。
表示方法:正数a的平方根记做“a”,读作“正、负根号a”。
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
3
(1)开方开不尽的数,如7,2等;
π开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3+8等;a0
(3)有特定结构的数,…等;注意a的双重非负性:
(4)某些三角函数值,如sin60o等a0
二、实数的倒数、相反数和绝对值:3、立方根
1、相反数一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根(或三次方根)。
3
表示方法:记作aaaaa
(a0,b0)(a0,b0)
性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。(4)bb(bb)
3a3a
注意:,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。3、运算结果若含有“a”形式,必须满足
四、实数大小的比较(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
1、实数比较大小:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。六、实数的运算
2、实数大小比较的几种常用方法(1)六种运算:加、减、乘、除、乘方、开方
(1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。(2)实数的运算顺序
(2)求差比较:设a、b是实数,先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。
ab0ab,
(3)运算律
ab0ab,
加法交换律abba
ab0ab加法结合律(ab)ca(bc)
aaa乘法交换律abba
1ab;1ab;1ab;
bbb
(3)求商比较法:设a、b是两正实数,乘法结合律(ab)ca(bc)
abab
(4)绝对值比较法:设a、b是两负实数,则。乘法对加法的分配律a(bc)abac
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(5)平方法:设a、b是两负实数,则abab。第三章位置与坐标
五、算术平方根有关计算(二次根式)一、确定位置
1、含有二次根号“”;被开方数a必须是非负数。1、在平面内,确定物体的位置一般需要两个数据。
2、性质:二、平面直角坐标系及有关概念
21、平面直角坐标系
(1)(a)a(a0)
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴,组成平面直角坐标系。其中,水平的数轴叫做x轴或横
a(a0)
轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;x轴和y轴统称坐标轴。它们的
a2a
(2)公共原点O称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一
a(a0)
象限、第二象限、第三象限、第四象限。
(3)abab(a0,b0)(abab(a0,b0))注意:x轴和y轴上的点(坐标轴上的点),不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念
对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线,垂足在上x轴、y轴对应的数a,b分别(-x,-y)
叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标。(6)、点到坐标轴及原点的距离
点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
y
不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当ab时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。(1)点P(x,y)到x轴的距离等于
x
平面内点的与有序实数对是一一对应的。(2)点P(x,y)到y轴的距离等于
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4、不同位置的点的坐标的特征(3)点P(x,y)到原点的距离等于xy
(1)、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限x0,y0第四章一次函数
点P(x,y)在第二象限x0,y0一、函数:
点P(x,y)在第三象限x0,y0一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我
点P(x,y)在第四象限x0,y0们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。
(2)、坐标轴上的点的特征二、自变量取值范围
点P(x,y)在x轴上y0,x为任意实数使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。一般从整式(取全体实数),分式(分
点P(x,y)在y轴上x0,y为任意实数母不为0)、二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。
点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)即原点三、函数的三种表示法及其优缺点
(3)、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征(1)关系式(解析)法
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上x与y相等两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数关系式(解析)法。
(4)、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征(2)列表法
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。(3)图象法
(5)、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等,纵坐标互为相反数,即点P(x,y)关于x轴的对称点四、由函数关系式画其图像的一般步骤
为P’(x,-y)(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数,即点P(x,y)关于y轴的对称点(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
为P’(-x,y)(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数,即点P(x,y)关于原点的对称点为P’五、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
y
一般地,若两个变量x,y间的关系可以表示成ykxb(k,b为常数,k0)的形式,则称y
是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。图像经过二、三、四象限,
b<0
特别地,当一次函数ykxb中的b=0时(即ykx)(k为常数,k0),称y是x的正比例函数。y随x的增大而减小。
0x
2、一次函数的图像:所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
ykxbykx
一次函数的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数的图像是经过原点注:当b=0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。
(0,0)的直线。4、正比例函数的性质
k的符b的符
函数图像图像特征ykx
号号一般地,正比例函数有下列性质:
y(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。
图像经过一、二、三象限,y随5、一次函数的性质
b>00x
x的增大而增大。
一般地,一次函数ykxb有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大
(2)当k<0时,y随x的增大而减小
k>0
y
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式ykx(k0)中的常数k。确定一个一次函
图像经过一、三、四象限,y随数,需要确定一次函数定义式ykxb(k0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数
b<00x
x的增大而增大。
法。
7、一次函数与一元一次方程的关系:
任何一个一元一次方程都可转化为:kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式。而一次函数解析式
y
形式正是y=kx+b(k、b为常数,k≠0).当函数值为0时,即kx+b=0就与一元一次方程完全相同.
图像经过一、二、四象限,结论:由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0(k、b为常数,k≠0)
K<0b>0
y随x的增大而减小方程可以转化为:当一次函数值为0时,求相应的自变量的值.
0x从图象上看,这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.