函数的应用知识点归纳.pdf

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〖〗方程的根与函数的零点
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数yf(x)(xD),把使f(x)0成立的实数x叫
做函数yf(x)(xD)的零点。
2、函数零点的意义:函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根,亦即函数
yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。即:
方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数
yf(x)有零点.
3、函数零点的求法:
求函数yf(x)的零点:
○1(代数法)求方程f(x)0的实数根;
○2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数yf(x)的图象联
系起来,并利用函数的性质找出零点.
○3零点定理法:如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,
并且有f(a)f(b)0,那么,函数yf(x)在区间[a,b]内有零点,即存在
c(a,b),使得f(c)0。这个c也就是方程f(x)0的根
4、二次函数的零点:
二次函数yax2bxc(a0).
1)△>0,方程ax2bxc0有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个
交点,二次函数有两个零点.
2)△=0,方程ax2bxc0有两相等实根(二重根),二次函数的图象与
x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3)△<0,方程ax2bxc0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次
函数无零点.
〖〗用二分法求方程的近似解
○1对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)0的函数yf(x),通过不断
地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进
而得到零点近似值的方法叫做二分法。
○2用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤:
1)确定区间[a,b],验证f(a)f(b)0,给定精确度;
2)求区间(a,b)的中点x1;
3)计算f(x1);
(1)若f(x1)0,则x1就是函数的零点;
(2)若f(a)f(x1)0,则令bx1(此时零点x0(a,x1));
(3)若f(x1)f(b)0,则令ax1(此时零点x0(x1,b))。
4)判断是否达到精确度:即若|ab|,则得到零点近似值a(或b);否则
重复2~4。
〖〗函数模型及其应用
几类常见的函数模型,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数。
基础练习
一、选择题
1、下列函数有2个零点的是()
A、y4x25x10B、y3x10
C、yx23x5D、y4x24x1
2、用二分法计算3x23x80在x(1,2)内的根的过程中得:
f(1)0,f()0,f()0,则方程的根落在区间()
A、(1,)B、(,2)C、(1,)D、(,)
3、一商店把货物按标价的九折出售,仍可获利20%,若该货物的进价为每件21元,则
每件的标价应为()
A、、28元C、、30元
4、某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进
货价),则该家具的进货价是()
A、108元B、105元C、106元D、118元
5、若方程axxa0有两个解,则实数a的取值范围是()
A、(1,)B、(0,1)C、(0,)D、
6、给右图的容器甲注水,下面图像中哪一个图像可以大致刻画容器中水的高度与时间的
函数关系:()
水高水高
AB
00
时间时间
水高水高
CD容器甲
00
时间时间
AB
7、方程x12x根的个数为()
A、0B、1C、2D、3
8、假设银行1年定期的年利率为2%,某人为观看20XX年的奥运会,从20XX年元旦开
始在银行存款1万元,存期1年,第二年元旦再把1万元和前一年的存款本利和一起作
为本金再存1年定期存款,以后每年元旦都这样存款,则到20XX年年底,这个人的银
行存款共有()()
A、、、、
二、填空题
9、函数f(x)(x21)(x2)2(x22x3)的零点是(必须写全所有的零点)。
x1
10、若f(x),则方程f(4x)x的根为。
x
11、若镭经过100年,%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,
则y与x的函数关系式为y=。
12、已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下x,f(x)对应值表:
x-2-101256
f(x)-1032-7-18-338
则函数f(x)在区间有零点。
三、解答题
13、有一块长为20cm,宽为12cm的矩形铁皮,将其四个角各截去一个边长为x的小正方
形,然后折成一个无盖的盒子,写出这个盒子的体积V与边长x的函数关系式,并讨
论这个函数的定义域。
14、某地兴修水利挖渠,其渠道的横截面为等腰梯形,腰与水平线的夹角为60°,设横截
面周长为定值m,问渠道深h为多少时,可使其流量最大?
15、某厂生产一种新型的电子产品,为此更新专用设备和请专家设计共花去了200000元,
生产每件电子产品的直接成本为300元,每件电子产品的售价为500元,产量x对
总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L之间存在什么样的函数关系?表示
了什么实际含义?
16、写一段小作文来说明下图中的图象所对应的函数的实际意义
y
5
05101520x
17、纳税是每个公民应尽的义务,从事经营活动的有关部门必须向政府税务部门交纳一
定的营业税。某地区税务部门对餐饮业的征收标准如下表
每月的营业额征税情况
1000元以下(包括1000元)
300元
1000元以下(包括1000元)部分征收300
超过1000元元,
超过部分的税率为4%
(1)写出每月征收的税金y(元)与营业额x(元)之间的函数关系式;
(2)某饭店5月份的营业额是35000元,这个月该饭店应缴纳税金多少?
18、WAP手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)按30元记费,超过
。假如上网时间过短,在1分钟以下不记费,1分钟以
上(包括1分钟)。WAP手机上网不收通话费和漫游费。
(1)小周12月份用WAP手机上网20小时,要付多少上网费?
(2)小周10月份付了90元上网费,那么他这个月用手机上网多少小时?
(3)你会选择WAP手机上网吗?你是用那一种方式上网的?
知识拓展
(x)=2x-x2,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内是否有解?
(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,求函数g(x)=bx2-ax-1的零点.
(x)=ax2+bx+c的零点是-2和3,当x∈(-2,3)时,f(x)<0,且f(-6)
=36,求二次函数的解析式.
1
=f(x)在(-∞,0]上递增,函数f(x)的一个零点为-2,求满
1
足f(log4x)≥0的x的取值集合.
1
1.[解析] 因为f(-1)=2-1-(-1)2=-2<0,f(0)=20-02=1>0,
而函数f(x)=2x-x2的图象是连续曲线,所以f(x)在区间[-1,0]内有零点,即方程f(x)
=0在区间[-1,0]内有解.
2.【解析】 由题意知方程x2-ax-b=0的两根分别为2和3,
∴a=5,b=-6,∴g(x)=-6x2-5x-1.
11
2
由-6x-5x-1=0得x1=-2,x2=-3.
11
∴函数g(x)的零点是-2,-3.
3.[解析] 由条件知f(x)=a(x+2)(x-3)且a>0
∵f(-6)=36,∴a=1∴f(x)=(x+2)(x-3)
满足条件-2<x<3时,f(x)<0.
∴f(x)=x2-x-6.
11
-
4.[解析] ∵-2是函数的零点,∴f(2)=0,
1
∵f(x)为偶函数,∴f(2)=0,
11
-
∵f(x)在(-∞,0]上递增,f(log4x)≥f(2),
11
∴0≥log4x≥-2,∴1≤x≤2,
∵f(x)为偶函数,
∴f(x)在[0,+∞)上单调减,
11
又f(log4x)≥f(2),
1111
∴0≤log4x≤2,∴2≤x≤1,∴2≤x≤2.
1
故x的取值集合为{x|2≤x≤2}.