初三数学复习学案(知识点).pdf

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§1有理数及其运算
一、课前预****br/>(一):【知识梳理】

(1)有理数:和统称为有理数。
(2)有理数分类
①按定义分:②按符号分:
()()
()
()0()

有理数();有理数0

()()
()()
()()
(3)相反数:只有不同的两个数互为相反数。若a、b互为相反数,则
。
(4)数轴:规定了、和的直线叫做数轴。
1
(5)倒数:乘积的两个数互为倒数。若a(a≠0)
a
。
(6)绝对值:
(7)无理数:小数叫做无理数。
(8)实数:和统称为实数。
(9)实数和的点一一对应。
()

()∥
()
()()

:实数()

()
()

()
()()
()
、近似数和有效数字
(1)科学记数法:把一个数记成±a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数)
(2)近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。
(3)有效数字:从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字,都
叫做这个数字的有效数字。
(二):【课前练****br/>1.|-22|的值是()
A.-.-4
()


0022
2、si、n4、5、0、、这七个数中,无理数有(
273
)
;;;
()


,有个有效数字,用科学记数法表示为万
二:【经典考题剖析】
,有青少年宫、学校、商场、
年宫在学校东300m处,商场在学校西200m处,
地看作一条直线,以学校为原点,向东方向为正方向,用1个单位长度表示
100m.(1)在数轴上表示出四家公共场所的位置;(2)列式计算青少年宫与商场之间
的距离.:

:-1,0,169,2,,,21,cos45,-cos60,
2222
7,2,7.
有理数集合{…};正数集合{…};
整数集合{…};自然数集合{…};
分数集合{…};无理数集合{…};
绝对值最小的数的集合{…};
(x-2)2+|y-4|+z6=0,求xyz的值..
,c、d互为倒数,m的绝对值是2求
3m12m
2(ab)2(cd)2的值
m
、b在数轴上的位置如图所示,且a>b,化简aabba:.
a0b
§2实数的运算
一:【课前预****br/>(一):【知识梳理】
、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则
(1)有理数加法法则:
①同号两数相加,取________的符号,并把__________
②绝对值不相等的异号两数相加,取________________的符号,并用
____________________。互为相反数的两个数相加得____。
③一个数同0相加,__________________。
(2)有理数减法法则:减去一个数,等于加上____________。
(3)有理数乘法法则:
①两数相乘,同号_____,异号_____,并把_________。任何数同0相乘,
都得________。
②几个不等于0的数相乘,积的符号由____________决定。当______________,
积为负,当_____________,积为正。
③几个数相乘,有一个因数为0,积就为__________.
(4)有理数除法法则:
①除以一个数,。
②两数相除,同号_____,异号_____,并把_________。0除以任何一个
____________________的数,都得0
(5)幂的运算法则:正数的任何次幂都是___________;负数的__________是负数,
负数的__________是正数
(6)有理数混合运算法则:
先算________,再算__________,最后算___________。
如果有括号,就_______________________________。
:在同一个算式里,先、,然后,最后
.有括号时,先算里面,再算括号外。同级运算从左到右,按顺序进行。

(1)加法交换律:_____________。(2)加法结合律:____________。
(3)乘法交换律:_____________。(4)乘法结合律:____________。
(5)乘法分配律:_________________________。

(1)差值比较法:
ab>0a>b,ab=0ab,ab<0a<b
(2)商值比较法:
aaa
若a、b为两正数,则>1a>b;1ab;<1a<b
bbb
(3)绝对值比较法:
若a、b为两负数,则a>ba<b;a;baba<ba>b
(4)两数平方法:如155与137:.
:
(二):【课前练****br/>,正确的是()
A.|m|与—1与21互为倒数
×102

1
中,自变量x的取值范围是()
1x
><≤≥1
-1·2÷4=,结果是 。


221
(1)3÷(-3)+|-|×(-6)+49;
6
(2)(32-23)2-(32+23)
二:【经典考题剖析】
、y是实数,3x4y26y90,若a求xy实数3x的值y,a.
,计算有理数的和与无理数的积的差:2140
4,,2,,27,(1)
32
:(1)35与2与与113,(-22)2155137,(3)103
:31=3,个位数字是3;32=9,个位数字是9;33=27,个位数字是
7;34=81,个位数字是1;35=243,个位数字是3;36=729,个位数字是9;…那么37
的个位数字是;320的个位数字是;
:
34212
(2)(1)(12)()
2
(1)2;
413(2)
(2)2100211
()(2001tan30)(2)
31621:.
§3数的开方和二次根式
一:【课前预****br/>(一):【知识梳理】

(1)如果x2=a,那么x叫做a的。一个正数有个平方根,它们互为
;
零的平方根是;没有平方根。
(2)如果x3=a,那么x叫做a的。一个正数有一个的立方根;一个负数
有一个的立方根;零的立方根是;

(1)
(2)
(3)
(4)二次根式的性质
2
①若a则(0,a);③ab(a0,b0)
2a()aa
②aa;④(a0,b0)
a()bb
(5)二次根式的运算
①加减法:先化为,在合并同类二次根式;
②乘法:应用公式abab(a0,b0);
aa
③除法:应用公式(a0,b0)
bb
④二次根式的运算仍满足运算律,也可以用多项式的乘法公式来简化运算。
(二):【课前练****br/>:.

(x-2)2=2-x那么x取值范围是()A、x≤<≥>2
()+
32
:①12,②2③;④27和3是同类二次根式的是()
3
A.①和③B.②和③C.①和④D.③和④
二:【经典考题剖析】
△ABC的三边长分别为a、b、c,且a、b、c满足a2-6a+9+b4|c5|0,
试判断△ABC的形状.
,下列各式在实数范围内有意义
1x1
(1)2x3;(2)2;(3)
x1x4
:
a11x2y
222
27x,xy,2ab,,,21,x,,
2ab2
,哪些是同类二次根式:
11123a
3,75,18,,2,,,8ab(b0),3b
27255032b

11m24m47
①675;②44xx2(x2);③;④(m)
1625m26m92:.
22
⑤236236;⑥2332623326
§4整式
一:【课前预****br/>(一):【知识梳理】

(1)单项式:只含有的积的代数式叫做单项式。单项式中____________
叫做这个单项式的系数;单项式中____________叫做这个单项式的次数;
(2)多项式:几个的和,叫做多项式。____________叫做常数项。
多项式中____________的次数,就是这个多项式的次数。多项式中____________的个数,就是这个多项式的项数。
、合并同类项
(1)同类项:________________________________叫做同类项;
(2)合并同类项:________________________________叫做合并同类项;
(3)合并同类项法则:
。
(4)去括号法则:括号前是“+”号,________________________________
括号前是“-”号,________________________________
(5)添括号法则:添括号后,括号前是“+”号,插到括号里的各项的符号都
;括号前是“-”号,括到括号里的各项的符号都。

(1)整式的加减法:运算实质上就是合并同类项,遇到括号要先去括号。
(2)整式的乘除法:
①幂的运算:
mnmnmnmnmnmnnnn
aaa;aaa;(a)a;(ab)ab
0p1
a1,ap(a0,p为整数)
a
②整式的乘法法则:单项式乘以单项式:
。
单项式乘以多项式:m(ab)。
单项式乘以多项式:(mn)(ab)。
③乘法公式:
平方差:。
完全平方公式:。
a、b型公式:(xa)(xb)x2(ab)xab
④整式的除法:单项式相除:把它们的系数、相同字母分别相除,作为商的因
式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式,相:.
同字母相除要用到同底数幂的运算性质。
多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
(二):【课前练****br/>2213
-4xy+xy-1有_项__,每项系数分别是__________.
2
-2xayb+2与3x5y2-b是同类项,则代数式3a-b=_______
:⑴-abc-4bc-6ac+3abc+5ac+4bc;(2)-7x2y5xy24x23xy2
,正确的是()
+3b=5ab;·a3=a3;÷a2=a3;D.(-ab)2=a2b2
,可用平方差公式().
①(2a-3b)(3b-2a);②(-2a+3b)(2a+3b)
③(-2a+3b)(-2a-3b);④(2a+3b)(-2a-3b).
A.①②;B.②③;C.③④;D.①④
二:【经典考题剖析】
:-7a2b+3ab2-{[4a2b-(2ab2-3ab)]-4ab-(11ab2b-31ab-6ab2}
=4,y3n=5,求(x2m)3+(yn)3-x2m·yn的值.
:A=2x2+3ax-2x-1,B=-x2+ax-1,且3A+6B的值与x无关,求a的值.
,它的作用是指导读者按规律写出形如(a+b)2(其中
n为正整数)展开式的系数,请你仔细观察下表中的规律,填出(a+b)4展开式中的
系数:
(a+b)1=a+b;
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
则(a+b)4=____a4+____a3b+___a2b2+_____
(a+b)6=
:我们已经知道,完全平方公式可以用平面几何图形的面积来
表示,实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示,例如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图l-l-l或图l-l-2等图形的面积表示.
(1)请写出图l-1-3所表示的代数恒等式:
(2)试画出一个几何图形,使它的面积能表示:
(a+b)(a+3b)=a2+:.
(3)请仿照上述方法另写一下个含有a、b的代数恒
等式,并画出与之对应的几何图形.
§5因式分解
一:【课前预****br/>(一):【知识梳理】
:把一个多项式化成的形式,这种变形叫做把这个多项式分解
因式.
:
⑴提公团式法:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出
来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
⑵运用公式法:平方差公式:;
完全平方公式:;
:
(1)分解因式时,首先考虑是否有公因式,如果有公因式,一定先提取公团式,然
后再考虑是否能用公式法分解.
(2)在用公式时,若是两项,可考虑用平方差公式;若是三项,可考虑用完全平方
公式;若是三项以上,可先进行适当的分组,然后分解因式。
:
提公因式时,其公因式应找字母指数最低的,
被全部提出,括号内的项“1”,如保留中括号形式,还能
继续分解等
(二):【课前练****br/>()
-2与6x2-(a-b)2与11(b-a)3
—my与ny——ac与ab—bc
,分解因式错误的是()
1(x1)(x1);4y2(12y)(12y)
64y2(9x8y)(9x8y);D.(2y)2x2(2yx)(2yx)
()
49y2B.9x249y2
49y2D.(9x249y2)
:x2+2xy+y2-4=_____
2222
:(1)9n;2a
(2)x2y2;(3)25x29y2;
(4)(ab)24(ab)2;(5)以上三题用了公式
二:【经典考题剖析】
::.
33322
(1)xyxy;(2)3x18x27x;(3)x1x1;(4)
23
4xy2yx
分析:①因式分解时,无论有几项,首先考虑提取公因式。提公因式时,不仅注意数,也要注意字母,字母可能是单项式也可能是多项式,一次提尽。
②当某项完全提出后,该项应为“1”
2n2n2n12n1
③注意abba,abba
④分解结果(1)不带中括号;(2)数字因数在前,字母因数在后;单项式在前,多项式在后;(3)相同因式写成幂的形式;(4)分解结果应在指定范围内不能再分解为止;若无指定范围,一般在有理数范围内分解。
:
223223222
(1)x3xy10y;(2)2xy2xy12xy;(3)x416x
分析:对于二次三项齐次式,将其中一个字母看作“末知数”,另一个字母视为“常
数”。首先考虑提公因式后,由余下因式的项数为3项,可考虑完全平方式或十字相
乘法继续分解;如果项数为2,可考虑平方差、立方差、立方和公式。(3)题无公因
式,项数为2项,可考虑平方差公式先分解开,再由项数考虑选择方法继续分解。
1111
:(1)12121212
23910
(2)20022200122000219992199822212
分析:(1)此题先分解因式后约分,则余下首尾两数。
(2)分解后,便有规可循,再求1到2002的和。
22232
:(1)4x4xyyz;(2)aa2b2ab
分析:对于四项或四项以上的多项式的因式分解,一般采用分组分解法,
4
5.(1)在实数范围内分解因式:x4;
(2)已知a、b、c是△ABC的三边,且满足a2b2c2abbcac,
求证:△ABC为等边三角形。
分析:此题给出的是三边之间的关系,而要证等边三角形,则须考虑证abc,
从已知给出的等式结构看出,应构造出三个完全平方式222,
abbcca0
即可得证,将原式两边同乘以2即可。略证:a2b2c2abbcac0
2a22b22c22ab2bc2ac0
222
abbcca0:.
∴abc
即△ABC为等边三角形。
§6分式
一:【课前预****br/>(一):【知识梳理】

(1)分式:分母中含有字母的式子叫做分式。对于一个分式来说:
①当____________时分式有意义。②当____________时分式没有意义。③只有在同时满足____________,且____________这两个条件时,分式的值才是零。
(2)最简分式:一个分式的分子与分母______________时,叫做最简分式。
(3)约分:把一个分式的分子与分母的_____________约去,叫做分式的约分。将一
个分式约分的主要步骤是:把分式的分子与分母________,然后约去分子与分母的_________。
(4)通分:把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分
式叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的___________。
(5)最简公分母:通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母
叫做最简公分母。求几个分式的最简公分母时,注意以下几点:①当分母是多项式时,一般应先;②如果各分母的系数都是整数时,通常取它们的系
数的作为最简公分母的系数;③最简公分母能分别被原来各分式的
分母整除;④若分母的系数是负数,一般先把“-”号提到分式本身的前边。
:
(1)基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个,分式的
AAMAM
:(其中M0)
BBMBM
(2)符号法则:____、____与__________的符号,改变其中任何两个,分式的值
aaaa
不变。即:
bbbb
:注意:为运算简便,运用分式abab
同分母
ccc的基本性质及分式的符号法
加减
acadbc则:
异分母
①若分式的分子与分母的各项bdbd

acac系数是分数或小数时,一般要化为整数。
乘
bdbd
分式运算乘除
acadad
②若分式的分子与分母的最高次除
bdbcbc
n项系数是负数时,一般要化为正数。
ana
乘方()n为(n整数)
bb



(1)分式的加减法法则:(1)同分母的分式相加减,,把分子相加减;:.
(2)异分母的分式相加减,先,化为的分式,然后再按
进行计算
(2)分式的乘除法法则:分式乘以分式,用_________做积的分子,___________做
积的分母,公式:_________________________;分式除以分式,把除式的分子、分母__________后,与被除式相乘,公式:;
(3)分式乘方是____________________,公式_________________。
,先,再算,最后算,有括号先算括号内。
,要先化简,再代人字母的值求值.
(二):【课前练****br/>:
①如果一个分式的值为0,则该分式没有意义()
②只要分子的值是0,分式的值就是0()
11
③当a≠0时,分式=0有意义();④当a=0时,分式=0无意义(
aa
)
xy1x212x2
,0,,x213,,,,中,整式和分式的个数分别为()
323xxy
,,,,2
ab
(a、b均为正数)中的字母a、b的值分别扩大为原来的2倍,则
ab
分式的值为()
11
;;;
24
9x2
。
x6x9
xy
,,7(y2)的最简公分母是。
4(xy)(y2)6(yx)(2y)
二:【经典考题剖析】
x5
,当x≠______时,分式有意义;当x=______时,分式的值为
x4x5
0.
x2x2
,则x的值为()
x1
=-1或x=2B、x===-1
3xxx21
3.(1)先化简,再求值:(),其中x22.
x1x1x
2
x2x1
(2)先将(1)化简,然后请你自选一个合理的x值,求原式的值。
x1x:.
xyzxyz
(3)已知0,求的值
346xyz

a241x22x1x4

(1)a2;(2)x2;(3)12
a2a2x2xx2x2x
22xyxy1124
(4)xy;(5)24
3xxy3xx1x1x1x1x
分析:(1)题是分式的乘除混合运算,应先把除法化为乘法,再进行约分,有乘方的要先算乘方,若分式的分子、分母是多项式,应先把多项式分解因式;(2)题把
当作整体进行计算较为简便;(3)题是分式的混合运算,须按运算顺序进
x2
行,结果要化为最简分式或整式。对于特殊题型,可根据题目特点,选择适当的方法,使问题简化。(4)题可以将看作一个整体,然后用分配律进行计算;
xyxy
112
(5)题可采用逐步通分的方法,即先算,用其结果再与2相加,依
1x1x1x
次类推。
:
x32x32x1
2=①
x11xx1x1x1x1
=x32x1②
=x32x2③
=x1④
(1)上面计算过程从哪一步开始出现错误,请写出该步的代号。
(2)错误原因是。
(3)本题的正确结论是。
小结:代数式的初步知识
一:【课前预****br/>(一):【知识梳理】
:有理式
代数式
无理式

(1)代数式:用(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母
连结而成的式子叫代数式。:.
(2)有理式:和统称有理式。
(3)无理式:
:用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值。
求代数式的值可以直接代入、计算。如果给出的代数式可以化简,要先化简再求值。
§7一次方程
一:【课前预****br/>(一):【知识梳理】整式方程
有理方程
方程分式方程

无理方程

(1)方程:含有的等式叫方程。
(2)有理方程:_________________________________________统称为有理方程。
(3)无理方程:__________叫做无理方程。
(4)整式方程:___________________________________________叫做整式方程。
(5)分式方程:___________________________________________叫做分式方程。
(6)方程的解:叫做方程的解。
(7)解方程:_叫做解方程。
(8)一元一次方程:___________________________________叫做一元一次方程。
(9)二元一次方程:___________________________________叫做二元一次方程
3.①解方程的理论根据是:_________________________
②解方程(组)的基本思想是:多元方程要_________,高次方程要__________.
③在解_____方程,;
:
步骤具体做法依据注意事项
去分母等式性质
乘法分配
去括号律、去括
号法则
移项移项法则
合并合并同
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