初三数学知识点复习 (2).pdf

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22bb4acbb4ac
初三一元二次方程知识点ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)或ax+bx+c=axx.
2a2a
知识讲解
:
:a≠0时,ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二
x2-(x+x)x+xx=:所求出方程的系数应化为整数.
次方程的有关问题时,多数****题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、b、c;其1212
--------应用题的类型题之一(设增长率为x):
中a、b,、c可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
(1)第一年为a,第二年为a(1+x),第三年为a(1+x)2.
:一元二次方程的四种解法要求灵活运用,其中直接开平方法虽然简单,
(2)常利用以下相等关系列方程:第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和.
但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大,但计算较繁,易发生计算错误;因式分解法适用
:
范围较大,且计算简便,是首选方法;配方法使用较少.
两边同乘最简
:当ax2+bx+c=0(a≠0)时,Δ=b2-4ac叫一元二次方程根的判别式.(1)去分母法验增根代入最简公分母(或原方程的每个分母),值0.
公分母
请注意以下等价命题:
凑元,设元,
Δ>0<=>有两个不等的实根;Δ=0<=>有两个相等的实根;(2)换元法验增根代入原方程每个分母,值0.
换元.
Δ<0<=>无实根;Δ≥0<=>有两个实根(等或不等).
:
:当ax2+bx+c=0(a≠0)时,如Δ≥0,有下列公式:
(1)代入消元法方程组中含有一个二元一次方程;
bb24acbc
(1)x;(2)xx,xx.(2)分解降次法方程组中含有能分解为(())0的方程;
1,22a12a12a
(1)(2)0(1)0(2)0(1)0(2)0
注意:应分组为
2(3).
※+bx+c=0(a≠0)时,有以下等价命题:(3)(4)0(3)0(4)0(4)0(3)0
bc
(以下等价关系要求会用公式xx,xx;Δ=b2-4ac分析,不要求背记)
12a12a※:
b
(1)两根互为相反数=0且Δ≥0b=0且Δ≥0;222222112
(1)x1x2(x1x2)2x1x2;(x1x2)(x1x2)4x1x2;x(x)2;
ax2x
c
(2)两根互为倒数=1且Δ≥0a=c且Δ≥0;
a22
2112(x1x2)(x1x2)4x1x2(x1x2)
cb或x(x)2;x1x2;
(3)只有一个零根=0且≠0c=0且b≠0;x2x22
aa(x1x2)(x1x2)4x1x2(x1x2)
cb
(4)有两个零根=0且=0c=0且b=0;
aax22和x1x22
(2)xx2;
c122
(5)至少有一个零根=0c=0;(x1x2)4
a
c
(6)两根异号<0a、c异号;x4x4
2分类为1和1
ax14x116(1)
(3)(或)x23x23;
cbx329
(7)两根异号,正根绝对值大于负根绝对值<0且>0a、c异号且a、b异号;2x2
aa(2)两边平方一般不用,因为增加次数.
cb
(8)两根异号,负根绝对值大于正根绝对值<0且<0a、c异号且a、b同号;22
aa(4)如x1sinA,x2sinB且AB90时,由公式sinAcosA1,cosAsinB
cb22
(9)有两个正根>0,>0且Δ≥0a、c同号,a、b异号且Δ≥0;可推出x1x2:x10,x20.
aa
cb
(10)有两个负根>0,<0且Δ≥0a、c同号,a、b同号且Δ≥0.(5)x1,x2若为几何图形中线段长时,可利用图形中的相等关系(例如几何定理,相似形,面积
aa
等式,公式)推导出含有x,:x0,x0.
:注意:当Δ<0时,
(6)如题目中给出特殊的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件,可把它们转化为某
<n>(x+n)(x-1)=0,所以x1=-n,x2=1.
些线段的比,并且引入“辅助未知元k”.
(2)比如:共同特点是:都有一个根为1;都有一个根为负整数;两个根都是整数根等.
(7)方程个数等于未知数个数时,一般可求出未知数的值;方程个数比未知数个数少一个时,一
◆
般求不出未知数的值,但总可求出任何两个未知数的关系.【点评】本例从教材要求的基本知识出发,探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与
系数之间的关系,注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查.
例题解析
例3(2005,黄冈市)张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁片的四个角各剪
例1(2006,四川绵阳)若0是关于x的方程(m-2)x2+3x+m2+2m-8=0的解,求实数
去一个边长为1m的正方形后,
m的值,并讨论此方程解的情况.
此长方体运输箱底面的长比宽多2m,现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱,问张大叔购回这
【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程,又讨论方程解的情况的优秀考题,需
张矩形铁皮共花了多少元钱?
要考生具备分类讨论的思维能力.
【分析】首先化无形为有形,画出示意图,分清底面、侧面,底面的长与宽和长方体的高各
【解答】由题知:(m-2)×02+3×0+m2+2m-8=0,∴m2+2m-8=0.
用什么数或式子表示,然后利用体积相等列出方程求解.
利用求根公式可解得m1=2,或m2=-4.
【解答】设这种运输箱底部宽为xm,则长为(x+2)m,依题意,
当m=2时,原方程为3x=0,此时方程只有一个解,x=0.
1有x(x+2)×1=15化简,得x2+2x-15=0.
2
当m=-4时,原方程可化为2x-x=0,解得x1=0,x2=.
2
∴x1=-5(舍去)x2=2.
例2(2006,北京海淀)已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程:
所求铁皮的面积为:(3+2)(5+2)m2=35m2.
x2-1=0(1)
所购矩形铁皮所需金额为:35×20元=700元.
x2+x-2=0(2)
答:张大频购回这张矩形铁皮花了700元钱.
x2+2x-3=0(3)【点评】
购买铁皮所需金额就困难了.
……
x2+(n-1)x-n=0(n)中考原题及解答
()请解上述一元二次方程(),(),(),();2
1123n1、(2007湖南株州)已知x=1是一元二次方程axbx400的一个解,且ab,求
(2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点,写出一条即可.
a2b2
【分析】.
2a2b
【解答】(1)<1>(x+1)(x-1)=0,所以x=-1,x=1.
12解:把x=1代入方程,得:a+b=40,又ab
<2>(x+2)(x-1)=0,所以x=-2,x=1.
12a2b2(ab)(ab)ab
所以,===20。
<3>(x+3)(x-1)=0,所以x1=-3,x2=2b2(ab)2
……2、(2007湖北天门)已知关于x的一元二次方程x2+4x+m-1=0。
(1)请你为m选取一个合适的整数,使得到的方程有两个不相等的实数根;
(2)设α、β是(1)中你所得到的方程的两个实数根,求α2+β2+αβ的值。②黄金周旅游收入呈上升趋势。┉┉
(2)设平均每年增长的百分率为x,则300(1+x)2=400,
解:(1)取m=1,得方程x2+4x=0,它有两个不等实数根:x=0,x=-4
1222
解得:x1=-1+3,x2=-1-3(不合题意,舍去),
(2)α=0,β=4,α2+β2+αβ=0+16+0=1633
3、(2007安徽省)据报道,我省农作物秸杆的资源巨大,但合理利用量十分有限,的利用率只2
所以,x=-1+3≈,
有30%,大部分秸杆被直接焚烧了,假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变,且合理利用量的3
答:%。
增长率相同,要使的利用率提高到60%,求每年的增长率。(取2≈)
5、(2007四川绵阳)已知x1,x2是关于x的方程(x-2)(x-m)=(p-2)(p-m)的两个
解:设我省每年产出的农作物秸杆总量为a,合理利用量的增长率是x,由题意得:
实数根.
30%a(1+x)2=60%a,即(1+x)2=2…………5分
∴≈,≈-不合题意舍去。……分
()7(1)求x1,x2的值;
∴x≈。
()若,是某直角三角形的两直角边的长,问当实数,满足什么条件时,此直角三
即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%。………8分2x1x2mp
4、(2007四川眉山)?并求出其最大值.
历次黄金周旅游收入变化图.
解:(1)原方程变为:x2-(m+2)x+2m=p2-(m+2)p+2m,
∴x2-p2-(m+2)x+(m+2)p=0,
(x-p)(x+p)-(m+2)(x-p)=0,
即(x-p)(x+p-m-2)=0,
∴x1=p,x2=m+2-p.
1111
(2)∵直角三角形的面积为xxp(m2p)=p2(m2)p
212222
1m2(m2)2
=[p2(m2)p()2()]
224
1m2(m2)2
=(p)2,
228
m2
∴当p且m>-2时,以x1,x2为两直角边长的直角三角形的面积最大,最大面
2
(m2)21
积为或p2.
82
(1);
(2)根据图中数据,求至的“十一”黄金周全国旅游收入平均每年增长的百分率(精确到
)
解:(1)①历年春节旅游收入低于“五一”和“十一”旅游收入;