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高考对本节知识的考察主要有以下两种形式:、填空的形式考察,主要考察圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率),和圆锥曲线之间的关系,突出考察根底知识、根本技能,属于根底题。2。以解答题的形式考察,主要考察圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解,直线和圆锥曲线的位置关系,常常在知识的交汇点处命题,有时以探究的形式出现,,考察学生分析问题、解决问题的才能,综合运用知识的才能等,属于中、高档题,一般难度较大.
圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)
||PF1|-|PF2||=2a(2a〈|F1F2|)
|PF|=|PM|点F不在直线l上,PM⊥l于M
标准方程
+=1(a〉b〉0)
-=1(a>0,b〉0)
y2=2px(p>0)
图形
几何性质
范围
|x|≤a,|
|x|≥a[
x≥0
y|≤b[
顶点
(±a,0),(0,±b)
(±a,0)
(0,0)
对称性
关于x轴,y轴和原点对称
关于x轴对称
焦点
(±c,0)
(,0)
轴
长轴长2a,短轴长2b
实轴长2a,虚轴长2b
离心率
e==(0〈e〈1)
e==(e>1)
e=1
准线
x=-
渐近线
y=±x
考点一 圆锥曲线的定义和标准方程
例1 (1)设椭圆+=1和双曲线-x2=1的公共焦点分别为F1、F2,P为这两条曲线的一个交点,那么|PF1|·|PF2|的值等于________.(精品文档请下载)
(2)直线y=k(x+2)(k>0)和抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,|FA|=2|FB|,那么k=________.(精品文档请下载)
答案 (1)3 (2)
解析 (1)焦点坐标为(0,±2),由此得m-2=4,故m=|PF1|+|PF2|=2,||PF1|-|PF2||=2,两式平方相减得4|PF1||PF2|=4×3,所以|PF1|·|PF2|=3。(精品文档请下载)
(2)方法一 抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点
P(-2,0).
如图,过A、B分别作AM⊥l于点M,
BN⊥l于点N.
由|FA|=2|FB|,那么|AM|=2|BN|,点B为AP的中点.
连接OB,那么|OB|=|AF|,
∴|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,
故点B的坐标为(1,2).
∴k==。
方法二 如图,由图可知,BB′=BF,AA′=AF,
又|AF|=2|BF|,
∴==,(精品文档请下载)
即B是AC的中点.
∴和(精品文档请下载)
(精品文档请下载)
联立可得A(4,4),B(1,2).
∴kAB==。(精品文档请下载)
(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深化理解细节部分:比方椭圆的定义中要求|PF1|+|PF2|>|F1F2|,双曲线的定义中要求||PF1|-|PF2||<|F1F2|,抛物线上的点到焦点的间隔和到准线的间隔相等的转化.(精品文档请下载)
(2)注意数形结合,提倡画出合理草图.
(1)(2021·山东)椭圆C:+=1(a〉b>0)的离心率为。双曲线x2-y2=1的渐近线和椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,那么椭圆C的方程为 ( )(精品文档请下载)
A。+=1 B.+=1(精品文档请下载)
C。+=1 D。+=1(精品文档请下载)
(2)如图,过抛物线y2=2px(p〉0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,
交其准线l于点C,假设|BC|=2|BF|,且|AF|=3,那么此抛物线的方程为
( )
=9x =6x
=3x =x
答案 (1)D (2)C
解析 (1)∵椭圆的离心率为,∴==,(精品文档请下载)
∴a=2b。∴椭圆方程为x2+4y2=4b2。
∵双曲线x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0,
∴渐近线x±y=0和椭圆x2+4y2=4b2在第一象限的交点为,(精品文档请下载)
∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b=4,∴b2=5,∴a2=4b2=20.(精品文档请下载)
∴椭圆C的方程为+=1。
(2)如图,分别过A,B作AA1⊥l于A1,BB1⊥l
于B1,由抛物线的定
义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,
∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,
∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°.
连接A1F,那么△AA1F为等边三角形,
过F作FF1⊥AA1于F1,那么F1为AA1的中点,
设l交x轴于N,那么|NF|=|A1F1|=|AA1|=|AF|,即p=,∴抛物线方程为y2=3x,应选C。(精品文档请下载)
考点二 圆锥曲线的几何性质
例2 (1)(2021·辽宁)椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C和过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF。假设|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,那么C的离心率为( )(精品文档请下载)
A. B。 C。 D.(精品文档请下载)
(2)双曲线-=1(a〉0,b〉0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,那么双曲线的离心率e的最大值为________.(精品文档请下载)
答案 (1)B (2)
解析 (1)在△ABF中,由余弦定理得
|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|·|BF|cos∠ABF,
∴|AF|2=100+64-128=36,∴|AF|=6,
从而|AB|2=|AF|2+|BF|2,那么AF⊥BF。
∴c=|OF|=|AB|=5,
利用椭圆的对称性,设F′为右焦点,
那么|BF′|=|AF|=6,
∴2a=|BF|+|BF′|=14,a=7.
因此椭圆的离心率e==。
(2)设∠F1PF2=θ,
由得(精品文档请下载)
由余弦定理得cosθ==-e2.(精品文档请下载)
∵θ∈(0,180°],∴cosθ∈[-1,1),-1≤-e2〈1,(精品文档请下载)
又e>1,∴1〈e≤。
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得到a,,b,c的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.(精品文档请下载)
(1)F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且B=2F,那么C的离心率为________.(精品文档请下载)
(2)过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2=的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,假设E为PF的中点,那么双曲线的离心率为________.
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答案 (1) (2)
解析 (1)设椭圆C的焦点在x轴上,如图,B(0,b),
F(c,0),D(xD,yD),
那么B=(c,-b),
F=(xD-c,yD),
∵B=2F,
∴(精品文档请下载)
∴(精品文档请下载)
又∵点D在椭圆C上,
∴+=1,即e2=.∴e=.(精品文档请下载)
(2)设c=,双曲线的右焦点为F′。
那么|PF|-|PF′|=2a,|FF′|=2c.
∵E为PF的中点,O为FF′的中点,
∴OE∥PF′,且|PF′|=2|OE|.
∵OE⊥PF,|OE|=,
∴PF⊥PF′,|PF′|=a,
∴|PF|=|PF′|+2a=3a。
∵|PF|2+|PF′|2=|FF′|2,
∴9a2+a2=4c2,∴=.
∴双曲线的离心率为.
考点三 直线和圆锥曲线的位置关系
例3 椭圆C:+=1(a〉b>0)的离心率e=,点F为椭(精品文档请下载)
圆的右焦点,点A、B分别为椭圆的左、右顶点,点M为椭
圆的上顶点,且满足·=-1.(精品文档请下载)
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线l,当直线l交椭圆于P、Q两点时,使点F恰为△PQM的垂心?假设存在,求出直线l的方程;假设不存在,请说明理由.(精品文档请下载)
解 (1)根据题意得,F(c,0)(c〉0),A(-a,0),B(a,0),M(0,b),
∴=(c,-b),=(a-c,0),(精品文档请下载)
∴·=ac-c2=-1。(精品文档请下载)
又e==,∴a=c,∴c2-c2=-1,(精品文档请下载)
∴c2=1,a2=2,b2=1,
∴椭圆C的方程为+y2=1。
(2)假设存在满足条件的直线l。
∵kMF=-1,且MF⊥l,∴kl=1.
设直线l的方程为y=x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),
由(精品文档请下载)
消去y得3x2+4mx+2m2-2=0,
那么有Δ=16m2-12(2m2-2)〉0,即m2<3,
又x1+x2=-,x1x2=,
∴y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2
=-+m2=。(精品文档请下载)
又F为△MPQ的垂心,连接PF,那么PF⊥MQ,
∴·=0,
又=(1-x1,-y1),=(x2,y2-1),(精品文档请下载)
∴·=x2+y1-x1x2-y1y2(精品文档请下载)
=x2+x1+m-x1x2-y1y2
=-m+m--(精品文档请下载)
=-m2-+=-(3m2+m-4)(精品文档请下载)
=-(3m+4)(m-1)=0,
∴m=-或m=1(舍去),
经检验m=-符合条件,
∴存在满足条件的直线l,其方程为3x-3y-4=0.
(1)对于弦中点问题常用“根和系数的关系”或“点差法”求解,在使用根和系数的关系时,要注意使用条件Δ≥0,在用“点差法"时,要检验直线和圆锥曲线是否相交.(精品文档请下载)
(2)涉及弦长的问题中,应纯熟地利用根和系数关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根和系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.