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北师大版八年级(下)数学知识点
归纳总结(总23页)
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第一章三角形的证明
八年级下册
第1节等腰三角形
一、全等三角形的性质与判定
1、全等三角形的性质
定理1全等三角形的对应边相等。
定理2全等三角形的对应角相等。
推论1全等三角形的面积相等。
推论2全等三角形的周长相等。
2、全等三角形的判定
公理1两边夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)
公理2两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
公理3三边对应相等的两个三角形全等(SSS)
定理1两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)
定理2斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。(HL)
二、等腰三角形的性质与判定
1、等腰三角形的性质
定理等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角)
推论1等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。
(三线合一)
推论2等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两个底角的平分线都相
等,并且它们的交点到底边两端点距离相等。
【说明】①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°。
-77-:.
②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角或直角,但顶角可为
钝角或直角。
③等腰三角形的三边关系:设腰长为a,底边长为b,周长为C,则
bC
<a<
22
④等腰三角形的三角关系:设顶角为∠C,底角为∠A、∠B,则∠C
180A
=180°—2∠A=180°—2∠B,∠A=∠B=
2
2、等腰三角形的判定
定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形。(等角对等边)
三、等边三角形的性质与判定
1、等边三角形的性质
定理1等边三角形的三条边都相等。
定理2等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°。
推论:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对直角边等
于斜边一半。
2、等边三角形的判定
定义:三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
四、反证法
小明认为,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边
也不相等。你认为这个结论成立吗如果成立,你能证明它吗
-78-:.
小明是这样想的:
你能理解他的推理过程吗?
小明在证明时,先假设命题的结论不成立,然后由此推导出了与定义、基
本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立。
这种证明方法叫做反证法。
第2节直角三角形
一、直角三角形的性质与判定
1、直角三角形的性质
定理1:直角三角形的两个锐角互余。(角的特征)
定理2:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。(勾股定理)
(边的特征)
2、直角三角形的判定
定义:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
定理1:有两个角互余的三角形是直角三角形。
定理2:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角
三角形。
二、已知一条直角边和斜边作直角三角形
1、尺规作图
-79-:.
已知:如图1-2-16所示,线段a,c(a<c),直角α
求作:Rt△ABC,使∠C=∠α,BC=a,AB=c
作法:
2、直角三角形全等的判定
定理斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。(HL)
三、互逆命题与互逆定理
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
相对于逆命题来说,另一个命题就为原命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,我们称
它们为互逆定理。其中一个定理称为另一个定理的逆定理。相对于逆定理来
说,另一个命题就为原定理。
第3节线段的垂直平分线
一、线段的垂直平分线
1、性质定理
-80-:.
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
3、三角形三条边的中垂线性质定理:
三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
二、已知底边及底边上的高作等腰三角形
已知:如图1-3-11(1)所示,线段a、h
求作:△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h
作法:①作线段BC=a;
②作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点;
③在MN上截取线段DA,使DA=h;
④连接AB、AC,
则△ABC就是所求作的三角形(如图1-3-11(2)所示)
三、过一点作已知直线的垂线
1、过直线上一点作已知直线的垂线
已知:直线l和l上一点P,
求作:直线l的垂线,使它经过点P
作法:①以点P为圆心,以任意长为半径作弧,
交直
线l于点A和点B;
②作线段AB的垂直平分线MN,则直线
MN
垂直于直线l,且经过点P。(如图1-3-12所示)
2、过直线外一点作已知直线的垂线
已知:直线l和直线l外一点P
求作:直线l的垂线,使它经过点P
-81-:.
作法:①任取一点K,使点K与点P分居直线l的两侧;
②以点P为圆心,PK长为半径作弧,交直线l于点
A和点B;
③作线段AB的垂直平分线MN,则直线MN垂直
于直线l,且经过点P。(如图1-3-13所示)
第4节角平分线
一、角平分线
1、性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2、判定定理:在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线
上。
3、三角形三个内角的平分线性质定理
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。
【说明】列表比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三角形的分类三边垂直平分线三个内角平分线
锐角三角形交于三角形内一点
三角
直角三角形交于三角形外一点交于三角形内一点
形
钝角三角形交于斜边的中点
到三个顶点的距离到三条边的距离相
交点性质
相等等
二、用尺规作一个角的平分线(回顾)
已知:∠AOB
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC
作法:①以点O为圆心,以任意长为半径作
弧,交OA
于点D,交OB于点E;
1
②分别以点D、E为圆心,以大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB
2
的内部交于点P;
-82-:.
③过点P作射线OC,则∠AOC=∠BOC,即OC是∠AOB的平分
线
第二章一元一次不等式与一元一次不等式组
第1节不等关系
一、不等式的概念
一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。
需要说明的是,用“≠”连接的式子也是不等式。
【说明】“不大于”指的是“等于或小于”,通常用符号“≤”表示;“不小于”指的是
“等于或大于”,通常用符号“≥”表示。
二、不等式的分类
1、绝对不等式:在任何条件下都成立的不等式。如5>3,x2≥0,|y|>
-1等。
2、矛盾不等式:在任何条件下都不成立的不等式。如2>3,a2<0等。
3、条件不等式:在一定条件下才能成立的不等式。如x—2>0,当x>2
时不等式成立;当x≤2时不等式不成立。
三、常见的不等式基本语言的含义
1、若x>0,则x是正数2、若x<0,则x是负数
3、若x≥0,则x是非负数4、若x≤0,则x是非正数
5、若x-y>0,则x大于y6、若x-y<0,则x小于y
7、若x-y≥0,则x不小于y8、若x-y≤0,则x不大于y
xx
9、若xy>0(或>0),则x、y同号;10、若xy<0(或<0),
yy
则x、y异号
第2节不等式的基本性质
-83-:.
一、不等式的基本性质
1、文字叙述
不等式的基本性质1不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方
向不变。
不等式的基本性质2不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的
方向不变。
不等式的基本性质3不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的
方向改变。
2、字母表示
不等式的基本性质1:如果a>b,那么a±c>b±c;如果a<b,那么a±c
<b±c
ab
不等式的基本性质2:如果a>b,c>0,那么ac>bc,>
cc
ab
如果a<b,c>0,那么ac<bc,<
cc
ab
不等式的基本性质3:如果a>b,c<0,那么ac<bc,<
cc
ab
如果a<b,c<0,那么ac>bc,>
cc
二、不等式的其他性质
1、如果a>b,那么b<a;如果a<b,那么b>a(对称性)
2、如果a>b,b>c,那么a>c;如果a<b,b<c,那么a<c;(传递
性)
3、如果a>b,c>d,那么a+c>b+d;如果a<b,c<d,那么a+c
<b+d;
-84-:.
4、如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;如果a>b>0,c<d<0,那
么ac<bd;
5、如果a<b<0,c>d>0,那么ac<bd;如果a<b<0,c<d<0,那
么ac>bd;
6、如果a>b>0,那么|a|>|b|;如果a<b<0,那么|a|>|b|;
7、如果a>b>0,那么an>bn(n为正整数);
8、如果a<b<0,那么an<bn(n为正奇数);
如果a<b<0,那么an>bn(n为正偶数);
三、不等式的三个基本性质与等式的两个基本性质比较
1、相同点:不管是等式还是不等式,在它们的两边都加(或减)同一个数或同
一个整式,结果仍然成立。
2、不同点:对于等式来说,在等式的两边都乘(或除以)同一个正数(或负
数),等式仍然成立;但对于不等式来说,在不等式的两边都乘(或除以)同
一个正数,不等号的方向不变,而在不等式的两边都乘(或除以)同一个负
数,不等号要改变方向。
第3节不等式的解集
一、不等式的解
能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。如,6是不等式x>5的
解,7,8,9,10也是不等式x>5的解。
【说明】不等式的解可能是有限个,也可能是无限个,还可能不存在,即无
解。例如,不等式x2≤0的解只有一个为x=0,不等式x-2≥1的解有无数
个,而不等式x4<0无解。
二、不等式的解集
1、定义
-85-:.
一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。例如,不等式
x+1>5的解集是x>4,不等式x2>0的解集是x≠0,不等式x2<0的解集是
空集。
2、表示方法
(1)用不等式表示
一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,它的解集是某个范围,这
个范围可以用一个简单的不等式x>a(x≥a)或x<a(x≤a)的形式表示出
来。
(2)用数轴表示
①在数轴上表示不等式的解集的步骤
A、画数轴
B、定界点:若解集包含“界点”,则用实心圆点;若解集不包含“界点”,则用空心圆圈。
C、定方向:相对于“界点”而言,大于向右画,小于向左画。
②在数轴上表示不等式的解集的方法
三、解不等式
1、定义:求不等式的解集的过程叫做解不等式。
2、主要依据:不等式的基本性质
第4节一元一次不等式
一、一元一次不等式的概念
不等式的左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数
是1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式。
二、解一元一次不等式的基本步骤
-86-:.
步骤变形名称具体做法
①去分母在不等式两边同时乘以各分母的最小公倍数
②去括号先去小括号,再去中括号,最后去大括号
把含有未知数的项移到不等号左边,其他项移到不
③移项
等号右边
把不等式化成ax>b(a≠0)或ax<b(a≠0)的
④合并同类项
形式
b
在方程两边同时除以未知数的系数a,得x>或x
将未知数的a
⑤
系数化为1b
<
a
【说明】解一元一次不等式的注意事项
(1)去分母时,不等号两边各项都要乘各分母最小公倍数,不要漏乘不带分母
的项。
(2)在步骤①和⑤中,如果乘数或除数是负数,要把不等号的方向改变。
(3)在数轴上表示不等式的解集时,要注意不等号以及端点的情况。
第5节一元一次不等式与一次函数
一、一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的联系
从“数”的角度看,求一元一次方程kx+b=0的解,相当于一次函数y=kx
+b,当y=0时,求自变量x的值;求一元一次不等式kx+b>0的解集,相
当于一次函数y=kx+b,当y>0时,求自变量x的取值范围;求一元一次不
等式kx+b<0的解集,相当于一次函数y=kx+b,当y<0时,求自变量x的
取值范围。
从“形”的角度看,求一元一次方程kx+b=0的解,相当于确定直线y=kx
+b与x轴交点的横坐标;求一元一次不等式kx+b>0的解集,相当于确定直
线y=kx+b在x轴上方时的自变量x的取值范围;求一元一次不等式kx+b<
0的解集,相当于确定直线y=kx+b在x轴下方时的自变量x的取值范围。
-87-:.
二、利用图象法解一元一次不等式
1、用图象法解不等式:-2x+3<3x-7
2、归纳总结
在同一直角坐标系画出一次函数y=kx+b与y=kx+b的图象,交点
111222
的横坐标就是一元一次方程的kx+b=kx+b解;y>y的部分所对应的自变
112212
量x的取值范围就是一元一次不等式kx+b>kx+b的解集;y<y的部分所
112212
对应的自变量x的取值范围就是一元一次不等式kx+b<kx+b的解集。
1122
三、一元一次不等式的应用
【例】我校打算在“五一”期间组织党员和教研组长到南戴河去旅游,参加旅游
的人数估计为10~25人,甲、乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人
200元。经过协商,甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠;乙旅行社表示
可先免去一位游客的旅游费用,其余游客八折优惠。如果你是校长,你会选择
哪一家旅行社呢?
解:设此次参加旅游的人数是x人,选择甲旅行社时,所需费用为y元,选择
1
乙旅行社时,所需的费用为y元,根据题意得
2
y=200×,即y=150x
11
-88-:.
y=200×(x-1),即y=160x-160
22
当y=y时,150x=160x-160,解得x=16;
12
当y>y时,150x>160x-160,解得x<16;
12
当y<y时,150x<160x-160,解得x>16。
12
因为参加旅游的人数为10~25人,所以
当x=16时,甲乙两家旅行社的收费相同;
当10≤x≤15时,选择乙旅行社;
当17≤x≤25时,选择甲旅行社。
第6节一元一次不等式组
一、一元一次不等式组
一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,组成一个一元
一次不等式组。
【说明】(1)不等式组中的所有的不等式必须都是一元一次不等式。
(2)不等式组中的所有的一元一次不等式都只含有同一个未知数。
(3)不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上。
二、一元一次不等式组的解集
1、概念
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不
等组的解集。
2、表示方法
确定一个不等式组的解集的方法是先将几个不等式的解集在同一个数轴上
表示出来,然后再找出它们的公共部分。
-89-:.
三、解不等式组
1、概念
求解不等式组解集的过程,叫做解不等式组。
2、例题
解:(1)解不等式①,得x<2(2)解不等式①,得x≥3
解不等式②,得x>2解不等式②,得x≤3
在同一条数轴上表示不等在同一条数轴上表示不等
式①②的解集为:式①②的解集为:
所以,原不等式组的解集无解。所以,原不等式组的解集为x=3
四、一元一次不等式组的应用
【例】某高一新生中有若干住宿生,分若干间宿舍。若每间住4人,则有21人
无处住;若每间住7人,则还有1间没住满。求住宿生的人数。
-90-:.
解:设有宿舍x间,则住宿生人数为(4x+21)人,根据题意得
1
解这个不等式组,得7<x<9
3
因为房间数只能取正整数,所以x只能取8或9
当x=8时,4x+21=53;
当x=9时,4x+21=57
答:住宿生的人数为53人或57人。
第三章图形的平移与旋转
第1节图形的平移
一、平移的相关概念
1、平移的定义
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为
平移。
2、平移的条件
(1)方向(任意方向)(2)距离
3、平移的实质
图形上的每一个点都沿着同一个方向移动了相同的距离。
4、平移的性质
平移改变了图形的位置,但不改变图形的形状和大小。这说明平移前后的
两个图形是全等的,因此得到了如下性质:
(1)平移前后的两个图形对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相
等。
-91-:.
(2)平移前后的两个图形对应线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)平移前后的两个图形对应角相等。
二、平移作图
1、平移作图的类型
(1)已知原图和一对对应点,作平移后的图形。
【例1】如图1所示,经过平移,△ABC的顶点A移到了点D。
①指出平移方向和平移的距离。
②画出平移后的三角形。
解:①如图2所示,连接AD,平移的方向是点A到点D的方向,平移的距离
是线段AD的长度。
②如图2所示,过点B、C分别作线段BE、CF,使他们与线段AD平行
且相等,连接DE、DF、EF,则△DEF就是△ABC平移后的图形。
(2)已知原图和一对对应边,作平移后的图形。
【例2】如图1所示,经过平移,△ABC的边AB移到了EF,画出平移后的三
角形。
-92-:.
解:如图2所示,连接AE、BF,过C点作线段CG∥BF,且CG=BF,连接
FG、EG,则△EFG就是△ABC平移后的图形。
(3)已知原图和平移方向、平移距离,作平移后的图形。
【例3】如图1所示,将△ABC按箭头所示方向平移4cm,画出平移后的图
形。(保留作图痕迹,不必写作法)
解:如图2所示,△DEF就是△ABC平移后的图形。
2、平移作图的条件
(1)图形原来的位置
(2)平移的方向
(3)平移的距离
三、坐标系中的平移
1、一个图形沿x轴方向平移或沿y轴方向平移
(1)图形的平移引起坐标的变化
坐标系中原图形的坐
平移方向平移距离对应点的坐标
标
沿x轴方向右(x+a,y)
向向左a个单位长度(x-a,y)
(x,y)
沿y轴方向上(a>0)(x,y+a)
向向下(x,y-a)
【说明】左右平移纵坐标不变,横坐标左减右加;上下平移横坐标不变,纵坐
标上加下减。
-93-:.
(2)坐标的变化引起图形的变化
①纵坐标不变,横坐标分别增加(或减少)a时,图形向右(或向左)平
移a个单位;
②横坐标不变,纵坐标分别增加(或减少)a时,图形向上(或向下)平
移a个单位。
2、一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移
(1)图形的平移引起坐标的变化
原图形的坐
平移方向与平移距离对应点的坐标
标
向右平移a个单位长度,向上平移b个单位(x+a,y+
长度b)
向右平移a个单位长度,向下平移b个单位(x+a,y-
长度b)
(x,y)
向左平移a个单位长度,向上平移b个单位(x-a,y+
长度b)
向左平移a个单位长度,向下平移b个单位(x-a,y-
长度b)
【说明】一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得的图形,可以看作是
由原图形经过一次平移得到的。平移的距离等于向x轴、y轴平移距离的平方
和的算术平方根。平移的方向是起始位置到终止位置时每对对应点的方向。
(2)坐标的变化引起图形的变化
①横坐标增加a,纵坐标增加b时,图形先向右平移a个单位,再向上平
移b个单位。
②横坐标增加a,纵坐标减少b时,图形先向右平移a个单位,再向下平
移b个单位。
③横坐标减少a,纵坐标增加b时,图形先向左平移a个单位,再向上平
移b个单位。
-94-:.
④横坐标减少a,纵坐标减少b时,图形先向左平移a个单位,再向下平
移b个单位。
第2节图形的旋转
一、旋转的相关概念
1、旋转的定义
在平面内,将一个图形绕着某一个定点按某个方向转动一个角度,这样的
图形运动称为旋转(rotation)。
2、旋转的三要素
(1)旋转中心:旋转时的定点称为旋转中心。
(2)旋转方向:顺时针、逆时针
(3)旋转角:转动的角称为旋转角。
【说明】①如图1所示,△ABO绕点O顺时针旋转得到△CDO,则:
点A的对应点是点C,点B的对应点是点D;
线段OA的对应线段是线段OC;
线段OB的对应线段是线段OD;
线段AB的对应线段是线段CD;
∠A的对应角是∠C;∠B的对应角是∠D;∠AOB的对应角是
∠COD;
旋转中心是点O;旋转的角是∠AOC或∠BOD。
②如图2所示,△ABC绕点O顺时针旋转得到△DEF,则:
点A的对应点是点D,
点B的对应点是点E;
-95-:.
点C的对应点是点F;
线段AB的对应线段是线段DE;
线段BC的对应线段是线段EF;
线段AC的对应线段是线段DF;
∠A的对应角是∠D;
∠B的对应角是∠E;
∠C的对应角是∠F;
旋转中心是点O;旋转的角是∠AOD或∠BOE或∠COF。
③旋转中心在旋转过程中保持不动,旋转中心可以在图形上,可以在图
形外,还可以在图形内。
④旋转角的角度范围为0°<x<360°。
3、旋转的实质
图形上的每一个点都绕着旋转中心沿相同方向旋转了相同的角度。
4、旋转的性质
旋转改变了图形的位置,但不改变图形的形状和大小,这说明旋转前后的
两个图形是全等的,因此得到如下性质:
(1)对应点到旋转中心的距离相等。
(2)任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,它们都相等。
(3)对应线段相等,对应角相等。
二、旋转作图
1、旋转作图的类型
(1)已知原图、旋转中心和一对对应点,作旋转后的图形。
-96-:.
【例1】如图1所示,△ABC绕O点按逆时针方向旋转后,顶点A旋转到了点
D,试确定旋转后的三角形。
【例2】如图1所示,△ABC绕O点按逆时针方向旋转后,AC边旋转到了DE
的位置,试确定旋转后的三角形。
(3)已知原图、旋转中心、旋转方向和旋转角,作旋转后的图形。
【例3】已知如图1所示,△ABC和旋转中心O,请作出△ABC绕点O顺时针
旋转60°后的三角形△A′B′C′
-97-:.
2、旋转作图的条件
(1)原图形的位置(2)旋转中心(3)旋转方向(4)旋转角度
三、钟表的旋转
1、秒针匀速旋转一周需要1分钟,恰好转过360°,即每分钟转过360°;
2、分钟匀速旋转一周需要60分钟,恰好转过360°,即每分钟转过6°;
3、时针匀速旋转一大格需要60分钟,恰好转过30°,即每分钟转过°。
第3节中心对称
一、中心对称
1、中心对称的概念
如果把一个图形绕着某一点旋转180°,它能够与另一个图形重合,那么就
说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做它们的对称中心。
【说明】中心对称是对两个图形来说的,它表示两个图形之间的对称关系。
2、中心对称的性质
因为成中心对称的两个图形能够重合,所以这两个图形是全等的,因此有
如下性质:
-98-:.
(1)成中心对称的两个图形中,对应点所连线段经过对称中心,且被对称中心
平分。
(2)成中心对称的两个图形中,对应线段平行(或在一条直线上)且相等。
(3)成中心对称的两个图形中,对应角相等。
3、确定成中心对称的两个图形的对称中心的方法
(1)连接任意一对对称点,取这条线段的中点,这个中点即为对称中心。
(2)连接任意两对对称点,两条线段的交点即为对称中心。
二、中心对称图形
1、中心对称图形的概念
把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重
合,那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。
【说明】中心对称图形是对一个图形来的说的。
2、中心对称图形的性质
(1)中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
(2)任何一条经过对称中心的直线都把一个中心对称图形分成全等的两部分。
3、作中心对称图形的步骤
(1)确定对称中心
(2)找出所给图形中的关键点
(3)作出这些关键点关于对称中心的对称点
(4)按原图顺序连接所作的对称点,完成中心对称图形。
三、旋转对称图形
1、旋转对称图形的概念
-99-:.
把一个图形绕着某个点旋转一定角度后,如果旋转后的图形能与原来的图
形重合,那么这个图形叫做旋转对称图形。这个点叫做它的对称中心。旋转的
角度叫做旋转角。
【说明】(1)一个旋转对称图形旋转后与自身重