文档介绍：立体几何(空间的直线和平面)
1、平面的基本性质:
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
说明:公理1是判定直线在平面内的依据,用符号表示为:,以“直线在平面内”的意义为依据,我们常用下面的推理判定“点在平面内”:。简而言之:点在线上,线在面内,则点在面内。
公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
说明:公理2是判定两个平面相交的依据,即,进而有。以“两平面相交的意义”为依据,常用下面的推理判定“点在直线上”:。
公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面。
联想:公理3及其3个推论,是确定平面的依据,是我们将空间图形问题转化到平面问题来解决的重要前提。在立体几何中,如果我们所研究的点线等能确定是同一平面内的,那么我们就可不加证明地运用平面几何中的定义、公理、定理等,公理3及其3个推论也是证明两平面重合的依据,如:。
斜二测画法——斜二测画法的规则是:(见书本)
说明:画水平放置的直观图时,坐标原点的选取是任意的,但通常取中心对称图形的中心为坐标原点,或者取轴对称图形一边与轴的交点为原点等。
2、空间两条直线
异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
空间两直线的位置关系有三种:相交直线、平行直线和异面直线。
异面直线的判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线。
空间四边形:四个顶点不共面的四边形叫做空间四边形。
三线平行公理(公理4)平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理:若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,则这两个角相等。
等角定理的推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两组直线所成的锐角(或直角)相等。
两条异面直线所成的角的范围: ,两条异面直线互相垂直、公垂线和距离的定义。
金点子:(1)证明两直线是异面直线的常用方法是“判定定理”和“反证法”,其中“反证法”最常用;(2)求异面直线所成的角,常用平移转化法,即平移一条(或两条)作出夹角,在解三角形。
3、空间的直线与平面
直线与平面平行的定义、位置关系(在平面内、和平面相交、和平面平行——其中直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外)
直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。用符号表示:
直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行,用符号表示:
直线和平面垂直的定义:
直线和平面垂直的判定定理:定理1如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面,用符号表示:
定理2如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面,用符号表示:
直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,用符号表示:
点到平面的距离、直线到平面的距离、点在平面上的射影、平面的斜线、斜线在平面上的射影等的定义:
垂线段、斜线段、射影