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有
理
数
有理数:
(1)整数和分数统称有理数.
正有理数
正整数
正整数
正分数
整数
零
(2)有理数的分类:
①有理数零
②
有理数
负整数
负有理数
负整数
分数
正分数
负分数
负分数
:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
越来越大
:
-3-2-1
0123
(1)只有符号不相同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;
a和-a互为相反数,
0的相反数是0;
注意:a-b+c的相反数是-a+b-c;a+b的相反数是-a-b;
绝对值:
(1)
数轴上一个数所对应的点与原点的
距离叫做该数的绝对值,用“
||
”表示。
(2)
绝对值可表示为:
a
(a
0)
或
a
a
(a
0)
;
a0
(a
0)
a
(a
0)
a(a
0)
(4)
①非负性:|a|≥0
②|a|=|-a|
③若|a|=b,则a=±b
a
a
0
a
0;
④
1
;
1a
a
a
数轴上两点间的距离:
|a-b|
数轴上中点公式:
x1+x2
2
5.
比较两个负数的大小,绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤以下
:
①先求出两个数负数的绝对值;
②比较两个绝对值的大小;③依照“两个负数,绝对值大的反而小
”做出正确的判断。
第二章有理数的运算
有理数加法法例:·同号两个数相加,取加数的符号,并把绝对值相加。
·异号的两个数相加,取绝对值较大的数的符号,
并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
·互为相反数的两数相加得
0.
·一个数同0相加仍得这个数
:①相反数相加;
②同号相加;
③同分母相加;
④凑整的相加。
3.
加法互换律:a
b
b
a
4.
加法联合律:(a
b)
c
a(b
c)
有理数减法法例:减去一个数等于加上这个数的相反数。
:两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。任何数与0相乘积仍得0。
:若是两个数互为倒数,则它们的乘积为1。(如:-2与-1)注意:①零没有倒数②倒数等于自己的数:
2
1,-1
等于自己的数汇总:相反数等于自己的数:0,绝对值等于自己的数:正数和0,
平方等于自己的数:0,1算术平方根于自己的数:0,1平方根于自己的数:0
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立方等于自己的数:0,1,-:0,1,-1
乘法法例:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。
②任何数与0相乘,积仍为0。
乘法互换律:abba乘法联合律:(ab)ca(bc)乘法分派律:(ab)cacbc
有理数除法法例:·除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。·两个有理数相除,同号得正,异号得负,绝对值相除。
0除以任何数都得0,且0不能够作除数,否则没心义。
:求n个相n同个a因数a的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂。
aaa
a
a
n
指数
注意:①非负数:
底数
a2≥0;若a2+|b|=0
a=0,b=0幂
;
.立方呢?
②据规律12
1
底数的小数点搬动一位,平方数的小数点搬动二位
102
100
:·先算乘方,再乘除,后加减;·同级运算,从左到右进行;
·如有括号,先算括号内的运算。
:把一个数记成a×10n(1a10,n是整数)的形式,这种记数法叫科学记数法.
:(),()
第三章实数
一、实数的见解及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数零有限小数和无量循环小数
实数负有理数
正无理数
无理数无量不循环小数
负无理数
实数正实数
0
负实数
2、无理数
无理数抓住“无量不循环”,概括起来主要有三类:
(1)开不尽方的数,如
7,32等;(2)化简后含有π的数,如
π
+8等;(3)有特定构造的无量不循环小等;
二、平方根、算数平方根和立方根
3
1、平方根
a的平方根(或二次方跟):a,a的算术平方根a,a的负平方根—a,0的平方根和算术平方根都
是0
一个数有两个平方根,他们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
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a(a0)
注意
a的双重非负性:
a
0(a0)
x-1
1-x0
a
2
a
-a(a<0)
;如
x-1
0
1x
0
x
1
3、立方根:a的立方根(或
a的三次方根):3a
注意:3
a
3a,如38
38
一个正数有一个正的立方根;
一个负数有一个负的立方根;
零的立方根是零。
四、实数大小的比较
(1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:a
b0ab,
a
b
0
a
b,
ab0ab
(3)求商比较法:设
a、b是两正实数,a
1
a
b;a
1
a
b;a
1
ab;
b
b
b
第四章代数式
:
用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数与表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。
...
独自的一个数或一个字母也是代数式。(注意:代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。)
:
①带分数与字母相乘时,应带分数化成假分数,如21a应写作7a;②除法运算转为分数的写法,如4÷(a-4)应写作4;
33a4
③在表示和(或)差的代差的代数式,把代数式括起来再写单位,如(a2b2)平方米
:代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数。如3x,4y的系数分别为3,4。
......
注意:①单个字母的系数是1,如a的系数是1;②只含字母因数的代数式的系数是1或-1,如-ab的系数是-1。a3b的系数
是1
:代数式6x22x7表示6x2、-2x、-7的和,
6x2、-2x、-7是它的项,其中把不含字母的项叫做常数项(符号随着走)
单项式:由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式。
系数:单项式前面的数字因数叫做这个单项式的系数。
单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
:几个单项式的和叫做多项式。其中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项。
多项式的次数:多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数。
:单项式与多项式统称整式。
(
a和1不是单项式,不是整式
)
x
同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。常数也是同类项
归并同类项:把多项式中的同类项合成一项,叫做归并同类项。注意:最后结果必然要归并到不再含有同类项为止。
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:若是括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号不变;
若是括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
例:a+(b-2c)-(e-2d)=a+b-2c-e+2d
第五章
一元一次方程
:1、若是a
b,那么a
cb
c
2、
若是a
b,那么ac
bc
若是a
b(c
0),那么a
b
c
c
:解一元一次方程一般要
去分母、去括号、移项、归并同类项、未知数的系数化为1等,最后得出x
a的
形式。
:
(1)行程问题:
距离=速度·时间
速度
距离
时间
距离;
时间
速度
(2)工程问题:
工作量=工效·工时
工作量
工作量
;工程问题常用等量关系:
先做的+后做的=
工效
工时
工时
工效
达成量
(3)顺水逆水问题:
顺水速度=静水速度+水流速度,逆流速度
=静水速度-水流速度;水流速度
=(顺水速度-逆水速度)÷2
顺水逆水问题常用等量关系:
顺水行程=逆水行程
(4)商品收益问题:
售价=订价
几折
,收益率
售价
成本
;收益问题常用等量关系:售价
-进价=收益
10
100%
成本
(5)储存问题:本金+利息=本息和,
利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息,利息税=利息×税率(20%)
第六章图形的初步认识
、线、面、体统称为几何图形。
线段、射线、直线
名称图形
直线
l
AB
射线
O
M
线段
l
A
B
几何图形分为平面图形和立体图形。
表示方法
端点
长度
直线AB(或BA)
无端点
无法胸怀
直线l
射线OM
1个
无法胸怀
线段AB(或BA)
2个
可胸怀长度
线段l
直线性质:两点确定一条直线
比较线段长短的两种方法:①圆规截取比较法;②刻度尺胸怀比较法.
用刻度尺或圆规能够画出线段的中点,线段的和、差、倍、分;
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线段性质:两点之间的所有连线中,线段最短。(两点间的线段长度,叫做这两点之间的距离。)
........
角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角;角也能够看作是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。平角,
...
周角
..
:1°=60分,1′=60秒
:从一个角的极点引出的一条射线,把这个角分红两个相等的角,这条射线叫做这个角的均分线。
.....
、互补:∠1+∠2=90°(互余)∠1+∠2=180°(互补)
同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等
8:直线订交对顶角相等
垂直:两直线订交所组成的四个角中有一个是直角,则这两条直线互相垂直,他们互为垂线,它们的交点
叫做垂足。
①在平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
....
②连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。
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