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高中数学基本不等式的巧用
1■基本不等式:-,.,^b<a2b
基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
等号成立的条件:当且仅当仁b时取等号
a+b\
2(a,b^R);
ba
(1)a2+b2±2ab(a,b^R);(2)方+万三2(。‘b同号);(3)abW(?丿
a2+b2(a+b\
2(a,b^R).
7
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为"
,几何平均数为70b,基本不等式可叙述为两个
7
7
正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数.
利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2jp.(简记:积定和最小)
⑵如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是4・(简记:和定积最大)
一个技巧
运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如一a2±b2.^2ab逆用就是a2~~b2a~~bj(a~I~b^
abW…2;2三、殛⑺,b>0)逆用就是abW…;…2(a,b>0)“添、拆项"
2—2—■■■2丿
技巧和公式等号成立的条件等.…
a2Ib2(aIb
两个变形•2了汁|2±ab(a,bER,当且仅当a=b时取等号);
I2丿
a2+b2a+b2
(2)>0,b>0,…当且仅当一a=):
722二+诂
a…-b
,•一
三个注意
7
,其失误的真正原因是其存在前提■…“二正、三定、三相等”的忽视•…要利用基本还等式求最值,这三个条件缺二丕可:…
在运用基本不等式时,要特别注意..“拆”“拼”“凑”等技巧,使甚满足基本丕等式中.“正”…“定”“等”的条件一•….
,要求同时满足任何一次的字母取值存在且二致•….
应用一:求最值例1:求下列函数的值域
⑵y=x+x
(1)y=3x2+占
2x2
解题技巧:
技巧一:凑项
例1:已知x<,求函数y=4x-2+—-—的最大值。
4丿4x-5
技巧二:凑系数
,求y=x(8—2x)的最大值。
技巧三:分离
例3.
x2+7X1+10(x>-1)的值域。
x+1
技巧四:换元
技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数f(x)=x+a的单调性。
x
x2+5
例:求函数y=的值域。
x2+4
,并求取得最小值时,X的值.
x2+3x+111
(1)y=--,(x>0)(2)y=2x+,x>3⑶y=2sinx+,xe(0,兀)
xx-3sinx
<x<1
求函数y=\x(1—x)的最大值.;3.
,求函数y=px(2—3x)的最大值.
条件求最值
+b=2,则3a+3b的最小值是.
11
变式:若logx+logy=2,求一+—的最小值•并求x,y的值
44xy
6
技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。
7
2:已知x>0,y>0
且1+9=i,
xy
求x+y的最小值。
变式:(1)若yER+且2x+y=1,求1+1的最小值xy
(2)已知a,b,x,ywR+且a+b=i,求x+y的最小值
xy
技巧七、已知x,y为正实数,且x2+号=1,求x\M+y2的最大值.
1
技巧八:已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=^b的最小值.
技巧九、取平方
5、已知x,y为正实数,3x+2y=10,求函数W=.'3x+\'2y的最值.
应用二:利用基本不等式证明不等式
,b,c为两两不相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+be+ca
1)正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:(1—a)(1—b)(1—c)$8abc
例6:已知a、b、ceR+
且a+b+c=1。求证:
8
7
应用三:基本不等式与恒成立问题
19
例:已知x>0,y>0且+—=1,求使不等式x+y>m恒成立的实数m的取值范围。xy
应用四:均值定理在比较大小中的应用:
例:若a>b>1,P=Jiga-lgb,Q=2(lga+lgb),R=lg(苇纟),则P,Q,R的大小关系
解:⑴y=3x2十士$2\f3x\2
1__
=寸6值域为[寸6,+8)
(2)当x>0时,y=x+*M2
1
x•=2;
x
7
当xVO时,
・•・值域为
1/1、
y=x+_=—(—x_一)W—2
Xx
(—g,—2]U[2,+s)
1
=—2
x
解:因4x—5<0,
所以首先要“调整”符号,
Qx<5—4x>0,y=4x-2+1—
44x—5
又(4x—2)g^5不是常数,所以对4x—2要进行拆、凑项,
(1)
=—5—4x+
‘5—4x丿
当且仅当5—4x=,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,y=1。
5—4xmax
评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
解析:由知,,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子
积的形式,但其和不是定值。注意到2x+(8—2x)=8为定值,故只需将y=x(8—2x)凑上一个系数即可。
y=x(^~2x)=-[2x*(8-2jr)]<-(
当2x=8-,即x=2时取等号当x=2时,y=x(8—2x)的最大值为8。
评注:本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值解析一:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。厂宀;十10一匕十1尸十如十1"4弋+[)+4
当x=—1,即1>0时,y>2(X+1)x-^+5=9(当且仅当x=1时取“=”号)X+1
解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令t=x+l,化简原式在分离求最值。
(t—1)2+7(t—1)+10t2+5t+44
y===t++5
t
当X:-1,即t=x+1°□时,y>2:tX4+5=9(当t=2即X=1时取“=”号)。
评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最
A
值。即化为y=mg(x)++B(A>0,B>0),g(x)恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值。
g(x)
解:令Jx2+4二t(t>2),则
y=x2+5=Jx2+4+1=t+1(t>2)
%2+4x2+4(
因t>0,t丄=1,但t=1解得t=±1不在区间[2,+8),故等号不成立,考虑单调性。tt
因为y=t+1在区间11,+8)单调递增,所以在其子区间[2,+8)为单调递增函数,故y>-0t2
「5)
所以,所求函数的值域为一,+8。
_2丿
分析:“和”到“积”是一个缩小的过程,而且3a-3b定值,因此考虑利用均值定理求最小值,
解:
3a和3b都是正数,3a+3b-3b=2\:3a+b=6
11
当3a=3b时等号成立,由a+b=2及3a=3b得a=b=1即当a=b=1时,3a+3b的最小值是6.
12
7
错解:Qx>0,y>0且丄+9=1,•••x+y二
xy
(x+y)>22、:xy-12
xy
故(x+y)-12。
min
7
7
错因:解法中两次连用基本不等式
在x+y>2Jxy等号成立条件是x-y,在丄+9>
xy
条件是---即y-9x,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用基本不等式处理问题时,列出xy
等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解:Qx>0,y>0,1+—-1,
xy
(x+y)
y9x
-上+三+10>6+10-16xy
当且仅当--空时,上式等号成立,又-+--
xyxy
可得x-4,y-12时,(x+y)-160
min
分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式abW
a2+b
2~
1
同时还应化简\'1+y2中y2前面的系数为2,x、qi+y2
=x
1畀
22
=\i'2x・
3
4
即x\;1+y2=,'2
3
W4
7
7
分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。
7
丄30—2bL30—2b」—2b2+30b
法一:a=T+F,ab=T+F・b=~b+1~
由a>0得,0VbV15
”,,—2t2+34t—31,,16、,,16、/__16
=8
令t=b+1,1VtV16,ab=£=—2(t+£)+34Tt+£$2、ft・花
1
abW18/.y$当且仅当t=4,即b=3,a=6时,等号成立。
18
法二:
由已知得:30—ab=a+2bVa+2b$2p2ab/.30—ab$2\/2ab
令u=x/0b贝qU2+2;./2u—30W0,—5\:0WuW3迈
1
.•.寸abW3\l2,abW18,Ay^—
18
点评:①本题考查不等式
>\ab(a,bgR+)的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等
式ab-a+2b+30(a,bgR+)出发求得ab的范围,关键是寻找到a+b与ab之间的关系,由此想到不等
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式a2tb>y[ab(a,bgR+),这样将已知条件转换为含ab的不等式,进而解得ab的范围.
20
变式:>0,b>0,ab—(a+b)=1,求a+b的最小值。,求它的面积最大值。
a+ba2+b2
解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,〒W—,本题很简单
\'3x+\''2yW\:‘2\;Oj3x)2+(\;‘2y)2=\:‘2\:3x+2y=2詁5
解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢。
W>0,W2=3x+2y+^,'3x=10+A?l,3x•;,2yW10+GJ玉)2・(\阪)2=10+(3x+2y)=20
・•・WW\S0=2J5
变式:求函数y=2x-1+「5-2x(2<x<2)的最大值。
解析:注意到2x—1与5—2x的和为定值。
y2=G--'2x-175-2x)2=4+2j(2x-1)(5-2x)<4+(2x-1)+(5-2x)=8
又y>0,所以0<y<2\;2
当且仅当2x一1=5一2x,即x=3时取等号。故y=2J2。
2max
评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件。总之,我们利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用基本不等式。
分析:不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘,又
1-1=—=b±c>2込,可由此变形入手。
aaaa
解:Qa、b、cgR+,a+b+c=1
11-ab+c、2\bc
——1==—
aaaa
>巫。同理丄-1>逅,
bb
11、2访
1>——
cc
式a2tb>y[ab(a,bgR+),这样将已知条件转换为含ab的不等式,进而解得ab的范围.
8
上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得
式a2tb>y[ab(a,bgR+),这样将已知条件转换为含ab的不等式,进而解得ab的范围.
8
式a2tb>y[ab(a,bgR+),这样将已知条件转换为含ab的不等式,进而解得ab的范围.
8
(1A
(1A
(1A
1-1
1-1
1-1
<a丿
(b丿
<c丿
2\:bc2ac2\abo
>gg=8。
abc
当且仅当a=b=c=
1时取等号。
解:
19
令x+y=k,x>0,y>0,+=1
xy
x+y*9x+9y
kxky
=It10+丄+匹=1
kkxky
式a2tb>y[ab(a,bgR+),这样将已知条件转换为含ab的不等式,进而解得ab的范围.
8
103
•••1—工>2-「二k>16,mG(-^,16]
分析:Ta>b>1lga>0,lgb>0
Q=2(lga+lgb)>i:lga-lgb=p
・R>Q>P。
R=lg(a+b)>lg、ab=£lgab=Q
式a2tb>y[ab(a,bgR+),这样将已知条件转换为含ab的不等式,进而解得ab的范围.
8