文档介绍：第三章 第3课时
一、选择题
>0,y>0,且x+y≤4,则下列不等式中恒成立的是( )
A.≤ B.+≥1
C.≥2 D.≥1
[答案] B
[解析] 取x=1,y=2满足x+y≤4排除A、C、D选B.
具体比较如下:∵0<x+y≤4∴≥故A不对;∵4≥x+y≥2,∴≤2,∴C不对;又0<xy≤4,∴≥∴D不对;+=≥=,∵≥,∴+≥1.
、n∈R,m2+n2=100,则mn的最大值是( )
[答案] B
[解析] 由m2+n2≥2mn得,mn≤=50,等号在m=n=5时成立,故选B.
>0,b>0且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( )
A.> B.+≤1
C.≥2 D.≤
[答案] D
[解析] ∵a>0,b>0,a+b=4,
∴≤=2,
∴ab≤4,∴≥,
∴+==≥1,故A、B、C均错,选D.
[点评] 对于D有,a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥16-2×4=8,∴≤.
、y满足x+2y=4,则3x+9y的最小值为( )
D.
[答案] A
[解析] ∵x+2y=4,∴3x+9y=3x+32y
≥2=2=2=18,
等号在3x=32y即x=2y时成立.
∵x+2y=4,∴x=2,y=1时取到最小值18.
5.(2016·云南师大附中高三月考)已知a+b=t(a>0,b>0),t为常数,且ab的最大值为2,则t等于( )
[答案] C
[解析] 当a>0,b>0时,ab≤=,当且仅当a=b=,所以=2,t2=8,所以t==.
+2y=1,则x+y的取值范围是( )
A.[0,2] B.[-2,0]
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
[答案] D
[解析] ∵2x+2y≥2,∴2≤1,
∴2x+y≤=2-2,∴x+y≤-2,故选D.
二、填空题
、y∈R+,且满足+=1,则xy的最大值为________.
[答案] 3
[解析] ∵x>0,y>0且1=+≥2,
∴xy≤3,当且仅当=,即x=,y=2时取等号.
、b为实常数,函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值为__________
[答案] (a-b)2
[解析] 从函数解析式的特点看,本题可化为关于x的二次函数,再通过配方求其最小值(留给读者完成).但若注意到(x-a)+(b-x)为定值,则用变形不等式≥()2更简捷.
∴y=(x-a)2+(x-b)2≥2[]2=.
当且仅当x-a=b-x,即x=时,上式等号成立.
∴当x=,ymin=.
三、解答题
、b和正实数x、y,满足a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求a、b的值.
[解析] x+y=(x+y)·1=(x+y)·(+)
=a+b++≥a+b+2=(+)2,
等号在=即=时成立.
∴x+y的最小值为(+)2=18,
又a+b=10,∴ab=16.
∴a、b是方程x2-10x+16=0的两根,
∴a=2,b=8或a=8,b=2.
>0,y>0