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知识点一:椭圆的定义
平面内一个动点P到两个定点F1、F2
的距离之和等于常数(PF1PF22a
F1F2),
这个动点P的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距
。
注意:若PF1
PF2
F1F2
,则动点P的轨迹为线段F1F2;
若PF1
PF2
F1F2
,则动点P的轨迹无图形.
知识点二:椭圆的简单几何性质
椭圆:x2
y21(a
b
0)与y2
x21(ab0)的简单几何性质
a2
b2
a2
b2
x2
y2
1(ab0)
y2
x
2
1(ab0)
标准方程
2
b2
a
2
b2
a
图形
焦点
F1(
c,0),F
2(c,0)
F1(0,
c),F2(0,c)
焦距
F1F2
2c
F1F2
2c
范围
x
a,
y
b
x
b,
ya
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
性质
极点
(a,0),(0,
b)
(0,a),(
b,0)
轴长
长轴长=2a
,短轴长=2b
长半轴长=a,短半轴长=b(注意看清题目)
e
c
e
1)
离心率
(0
a
A1F1A2F2ac;A1F2A2F1ac;acPF1ac;
(p是椭圆上一点)(不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围)
1
注意:①与坐标系没关的椭圆自己固有的性质,如:长轴长、短轴长、焦距、离心率等;
②与坐标系相关的性质,如:极点坐标、焦点坐标等
知识点三:椭圆相关计算
,b,c的几何意义a2b2c2
2
通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长2ba
焦点弦:椭圆过焦点的弦。
:p是椭圆上一点,当p是椭圆的短轴端点时,F1PF2为最大角.
4。椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。
SPF1F
2
b2
tan
F1PF2(注意公式的推导)
焦点三角形的面积
2,其中
求椭圆标准方程的步骤(待定系数法).
(1)作判断:依照条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上.
2
(2)设方程:
x
2
y
2
b0)或x
2
y
2
①依照上述判断设方程为
2
2=1(a
2
2=1(ab0)
a
b
b
a
②在不能够确定焦点地址的情况下也可设
mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).
(3)找关系,依照已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组.
4)解方程组,代入所设方程即为所求.
点与椭圆的地址关系:
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
2
2<1,点在椭圆内;
2
2=1,点在椭圆上;
2
2>1,点在椭圆外。
a
b
a
b
a
b
直线与椭圆的地址关系
设直线方程y=kx+m,若直线与椭圆方程联立,消去y得关于x的一元二次方程:ax2+
bx+c=0(a≠0).
(1)>0,直线与椭圆有两个公共点;
(2)=0,直线与椭圆有一个公共点;
3)<0,直线与椭圆无公共点.
弦长公式:(注意推导和理解)
若直线l:ykxb与圆锥曲线订交与A、B两点,A(x1,y1),B(x2,y2)则弦长
AB(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)2(kx1kx2)21k2x1x2
1k2(x1x2)24x1x2=
9。点差法:
就是在求解圆锥曲线题目中,交代直线与圆锥曲线订交所截的线段中点坐标的时候,利用
直线和圆锥曲线的两个交点,并把交点代入圆锥曲线的方程,并作差。求出直线的斜率,尔后
利用中点求出直线方程。涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,常常会更简单.
步骤:①设直线和圆锥曲线交点为,,其中点坐标为,则获取关
系式:
,
.。
②把
,
分别代入圆锥曲线的剖析式,并作差,利用平方差公式对结果进行
(
x2
)(
x1
x2
)
(
y2
)(
y1
y2
)0
mx1
ny1
3
③利用求出直线斜率,代入点斜式得直线方程为.
中点弦的重要结论(不要死记会推导)
xacos
(为参数)几何意义:离心角
bsin
11、椭圆切线的求法
1)切点(xy
)已知时,x2
y2
1(a
b
0)
切线x0x
y0y
1
00
a2
b2
a2
b2
y2
x2
1(a
b
0)
切线y0y
x0x
1
a2
b2
a2
b2
x2
y2
1(a
b
0)
切线y
kx
2
k
2
2
2)切线斜率k已知时,
b2
a
b
a2
y2
x2
1(a
b
0)
切线y
kx
2
2
2
a2
b2
bk
a
12、焦半径:椭圆上点到焦点的距离
x2
y
2
1(a
b
0)
r
a
ex0(加减由长短决定)
a2
b2
y2
a
2
1(a
b
0)
r
a
ey0(加减由长短决定)
a2
b2
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方
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焦点三角形的周长和面积的求法
利用定义求焦点三角形的周长和面积,解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理,常
15。椭圆的范围或最值问题
知识点四:椭圆认识知识
1、椭圆面积:S椭ab
2、椭圆的第二定义:
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