文档介绍：初中数学奥林匹克 夏令营辅导讲座
谈谈竞赛数学的解题策略
最好的方法来源于正确的解题策略
解题的成功依赖于合适的方法
解题离不开数学思想和方法
数学题千变万化、层出不穷,其实当我们着手去解题时,都会有一定的方向、一定的道路,而给我们引领方向、带领道路的正是数学思想.
数学思想方法是数学的灵魂
数学家波利亚说过:“完善的思想方法犹如北极星,许多人通过它而找到正确的道路.”
学数学的最好方法是做数学
第一部分 数学基本方法的应用
=( )2-( )2 ,7=( )2-( )2 ,9=( )2-( )2 ,11=( )2-( )2
从以上填空中,你发现了什么规律?请用等式表现出来.
解:5=32-22
7=42-32
9=52-42
11=62-52
……
(2n+1)=(n+1)2 -n2
+x2+x3+…+x2009=x1x2x3…x2009的正整数解。
分析:这2009个正整数的和正好与它们的积相等,
要确定每一个正整数的值,
我们从2个,3个,4个……直到发现规律为止!
解:x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2
x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3
x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4
x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5
x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6
的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6
…………
由此猜想结论是:
适合等式x1+x2+x3+…+x2009=x1x2x3…x2009
的正整数解为x1=x2=x3=……=x2007=1,x 2008=2,x2009=2009.
拓展已知:100个自然数a1,a2,a3……a100满足等式
(n-2)an-(n-1)an-1+1=0 (2≤n≤100)并且a100=199.
求:a1+a2+a3+……+a100
a99=
=197
用同样方法求得
a97=193,
a96=191,
a98= 195
……a1=1
∴a1+a2+a3+……+a100=1+3+5+……+195+197+199
分析:
,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为
A(1,1),B(2,-1),C(-2,-1),D(-1,1),
y轴上一点P(0,2)绕点A旋转180°得点P1,
点P1绕点B旋转180°得点P2,
点P2绕点C旋转180°得点P3,点P3绕点D旋转180°得点P4 ,,…
重复操作依次得到点P1,P2,…, 则点P2010的坐标是?
A
B
C
D
O
P
P1
P2
分析: 由已知可以得到,
点P1,P2的坐标分别为(2,0),(2,-2).
记P2(a2,b2),其中a2=2,b2=-2.
根据对称关系,依次可以求得:
令P6(a6,b2)
同样可以求得,点P10的坐标为( )
即P10( )….
)
由于2010=4×502+2,所以点P2010的坐标为(2010,-2)
P1
P2
P2(a2,b2)
(b+c)=b2(a+c)=≠b.
则c2(a+b)= ?
解:已知a2(b+c)=b2(a+c)=2010
故 a2(b+c)-b2(a+c)
=(a-b)(ab+bc+ca)=0.
而a≠b,
所以ab+bc+ca=0.
故c2(a+b)-b2(a+c)
=(c-b)(ab+bc+ca)=0.
从而c2(a+b)=
b2(a+c)=
2010
+4n(n∈N+)的形式,且与10000的差的绝对值最小的正整数
解:由于n2+4n
=(n+2)2-4!
且当a<b时,a2+4a<b2+4b,
于是,所求的正整数要么是1002-4=9996,
要么是1012-4=10197.
因为9996与10000的差的绝对值最小,
所以,所求的正整数为9996.