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高等数学上册复****要点
一、函数与极限
(一)函数
函数走义及性质(有界性、);
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2.
反函数■;
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初等函数:、对数函数、;
4.
函数的连续性与间断点;
函数/(对在观连续<=>
limf(x)=f(x0)
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第一类:左右极限均存在.
可去间断点、跳跃间断点
I第二类:.
无穷间断点、振荡间断点
:有界性与最大值最小值走理、零点走理、介值走
理及其推论.
(二)极限
1)
elfA
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2)函数极限
右极限:/«)=lnn/W
A—>Aq
左极限:/(xo)=血/(兀)
2、极限存在准则
1)夹逼准则:
1)儿<兀<乙(刃上仓)、
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liin£=a
/?—>x
2)胆儿=胆乙
2)
单调有界准则:单调有界数列必有极限.
3.
无穷小(大)量
1)
走义:若血2=°则称为无穷小量;若
lima=oo则称为无穷大量.
2)
无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、
等价无穷小、k阶无穷小
Thl
a〜0u>0=a+o(a);
Th2
a〜a',0~0;lim马存在,则lim©
aa
=lim^fa
(无穷小代换)
4.
求极限的方法
1)
单调有界准则;
2)
夹逼准则;
3)
极限运算准则及函数连续性;
4)
两个重要极限:
vSU1X1vZ1、一vZ11xv
liin=1b)lim(l+x)x=lini(l+—)-e
'x->0x'-V—>0JVT+OCx
5)无穷小代换:(xtO)
lii(l+x)〜兀
二导数与微分
X
(1咯(1+心応
a)ex-]〜无(ax-]〜x\na)
(_)导数
定义:/U)-lnn/CV)-/(Ao)
■9八X-Xo
C/、rf(X)~f(Xo)左导数:f-M=皿
**0X-Xo
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右导数:/:(xo)=lnn/CV)'/(Ao)
函数/W在X。点可导o人(X。)=*(X。)
几何意义:广(X。)为曲线y=f(x)在点(%0,/Uo))处的切线的斜率.
可导与连续的关系:
求导的方法
1)导数走义;
2)基本公式;
3)
则运算;
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4)复合函数求导(链式法则);
5)
隐函数求导数
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6)参数方程求导;
7)对数求导法.
1)定义缶哙仕)
2)Leibniz公式
k=0
(二)微分
l)定义:=/(^o+Ax)-/(x0)=+^(Ax),其中A与Ax无关.
2)可微与可导的关系:可微O可导,且dy=fXxQ)Ax=f\x())dx
三、微分中值走理与导数的应用
(一)中值定理
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:若函数/W满足:
1)/WwC[a,b];2)f(x)eD(a,b);
3)他)=f®);
则北w(m),使r(g)=o・
*:若函数/(兀)满足:
1)/WwC[];2)f(x)eD(a,b);
则日兵(a,b),慟(b)-/⑷=f(g)(b-a).
3.
Cauchy柯西中值定理:若函数/W,FO)满足:
1)/(x),F(x)eC[a,Z?];2)/(x),F(x)eZ)(a9Z?)3)F(x)HO,"(a,Z?)
则北w(a,b),使
F(b)-F@)F&
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(二)洛必达法则
(三)Taylor公武
!1!
)单调性及极值
单调性判别法:/W丘C[]ff(x)eD(a,b)t则若广(x)>0#则
/W单调増加;则若广⑴V0,则/⑴单调减少.
极值及其判定走理:
a)必要条件:/W在观可导,若观为/(X)的极值点,则广(“)=0.
b)第一充分条件:/0)在X。的邻域内可导但八心=0,则①若当兀VX。
时〃3>0,当兀>兀。时,广⑴<0,则心为极大值点;②若当兀<兀。时,f'W当兀>兀。时,广(Q>0,则X。为极小值点;③若在心的两侧f'E不变号,则%0不是极值点.
c)第二充分条件:/⑴在必处二阶可导,且广(勺)=0,厂(心乂0,则
,则为极大值点;@®rVo)>o,则X。为极小值点.
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1、
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凹凸性及其判断■拐点
1)在区间/上连续,若血宀W厶<小);八)■则称/(力在
区间/上的图形是凹的h,W,门号i)>4|竺2测称"Q在区间I上的图形是凸的.
2)判走定理:/⑴在口切上连续,在(。上)
,则
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a)若Vxe(67,/?)?r(x)>Of则/(x)在[°上]上的图形是凹的;
b)若色egfgv0测/(x)在[时]上的图形是凸的.
3)拐点:设y=/⑴在区间/上连续,观是广⑴的内点,如果曲线y=几刃经过点(x0,/(x0))时,曲线的凹凸性改变了■则称点(尤0,/(勺))为曲线的拐点.
(五)不等式证明
1.
利用微分中值走理;
2、
利用函数单调性;
3.
利用极值(最值).
六)方程根的讨论
1.
连续函数的介值走理;
2、
Rollers;
3.
函数的单调性;
4.
;
5、
凹凸'性.
(七)渐近线
铅直渐近线:11111/(x)=00
•X™Ct
,则兀M为一条铅直渐近线;
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1、
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1、
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2、水平渐近线:=bt则)匸b为一条水平渐近线;
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1、
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/=1
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!1!
1、
2.
概念和腿
!1!
)有理函数积分
i函数:在区间1±,若函数尸(兀)可导,且F'(x)=/(x)#则F(x)称为
/W的一个原函数.
不走积分:在区间i±,函数/W的带有任意常数的原函数称为/W在区
间/上的不走积分.
基本积分表(P188,13个公式);
性质(线性性).
(二)换元积分法
第一类换元法(凑微分):“⑷⑴]0(兀)血=|jf^)du\u=(p(x)
第二类换元法(变量代换:):
”(x)dx=f[<p(t)](p'(,t)dt\T&)
(三)分部积分法:JUdv=uv-\vdu(反对需指三,前U后W)
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1、〃拆";
2、变量代换(三角代换、)・
五、定积分
(-)概念与腿:
定义』门兀皿二映
性质:(7条)
性质7(积分中值走理)
函数/(兀)在区间[“]上连续#则样[“]z使
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eb
effWx
£/(x)dx=f«)(/?-a)(平均值:/(^)="ba)
(二)微积分基本公式(N-L公式)
变上限积分:设①⑴=£/⑴力,则①G)=/w
推广:壬H⑴水=/[0(兀)]0‘(兀)—/[*)]*)
2、N-L公武:若F(x)为f(x)的一个原函数测£f^)dx=F(b)~F(a)
(三)换元法和分部积分
1%换元法:]/(x)dx=^f[(p(t)](pXt)dt
2、分部积分法:£小=\uvl-£vdu
!1!
)反常积分
无穷积分:
瑕积分:
fbfb
Jf(x)dx=1HI1]f(x)dx(a为瑕点)£gdx=^11£f\x)dx(b为瑕点)
两个重要的反常积分:
+00,p<1
f+G0ch
—<“i
1)JaXPa、i
丄丿A——,p>i
p—1
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(bdx
2)—
dx
(b-xy1
(b_Q)H
i-g
+00,
q<i
q'l
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