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第一教时
教材:角的概念的推广目的:要求学生掌握用“旋转”定义角的概念,并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
过程:一、提出课题:“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在,我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”,它对我们今后的学****和研究都起着十分重要的作用,并且在各门学科技术中都有广泛应用。
二、:初中是任何定义角的(从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形)这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它的弊端在于“狭隘”
:“旋转”形成角(P4)
突出“旋转”注意:“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴
3.“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法:角a或za可以简记成a
“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了。
1°角有正负之分如:a=210。卩=一150。丫=一660。
2角可以任意大
实例:体操动作:旋转2周(360°X2=720°)3周(360°X3=1080°)
3。还有零角一条射线,没有旋转
三、关于“象限角”
为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点,角的始边合于x轴的正半轴,这样一来,角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限)
例如:30°390°-330°是第I象限角300°-60°是第W象限角
585°1180。是第皿象限角-2000°是第U象限角等
四、关于终边相同的角
:390°,一330°角,它们的终边都与30°角的终边相同
2•终边相同的角都可以表示成一个0。到360。的角与k(keZ)个周角的和
30o=30o+0X360o
390。=30。+360。(k=1)
-330o=30o-360o(k=—1)
(k=0)
1470o=30°+4X360o(k=4)
-17700=300-5X360。(k=-5)
3•所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合
S=6|B二a+k-360,keZ}
即:任何一个与角a终边相同的角,(P5略)
五、小结:1o角的概念的推广
用“旋转”定义角角的范围的扩大
2o“象限角”与“终边相同的角”
第二教时
教材:弧度制
目的:要求学生掌握弧度制的定义,学会弧度制与角度制互化,并进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念。
过程:一、回忆(复****度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。二、提出课题:弧度制—另一种度量角的单位制
它的单位是rad读作弧度
定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
如图:ZAOB=1rad
ZAOC=2rad
周角=2兀rad
,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0
^|=-(l为弧长,r为半径)
r
,单位不同,但数量相同(都是0)用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同。三、角度制与弧度制的换算
抓住:360°=2兀rad・°・180°=兀rad
兀
・・1O=
180
(180\°
1rad=——°=57°18'
I兀丿
例一把67°30'化成弧度
(1\°兀13
解:67°30'=67—・•・67°30'=——radx67—=—兀rad
(2丿18028
3
例二把5兀rad化成度
33
解:一兀rad=x180°=108°
55
注意几点:“计算器”《中学数学用表》进行;
,“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如:3表示3radsin兀表示兀rad角的正弦
(见课本P9表)
:角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
例三用弧度制表示:1。终边在x轴上的角的集合2。终边在y轴
上的角的集合3。终边在坐标轴上的角的集合
解:1。终边在x轴上的角的集合S]={pI卩=k兀,keZ}
2。终边在y轴上的角的集合屮IP二k兀+^,keZj
3。终边在坐标轴上的角的集合丄卩IP-孚,keZj
第三教时
教材:弧度制(续)
目的:加深学生对弧度制的理解,逐步****惯在具体应用中运用弧度制解决具体的
问题。过程:一、复****弧度制的定义,它与角度制互化的方法。
口答《教学与测试》P101-102练****题1—5并注意紧扣,
巩固弧度制的概念,然后再讲P101例二
、由公式:
比相应的公式1=抚简单
弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积
例一(课本p10例三)利用弧度制证明扇形面积公式S=21R其中1是扇
形弧长,R是圆的半径。
证:
1
如图:圆心角为lrad的扇形面积为:丄兀R2
2兀弧长为1的扇形圆心角为丄rad
R
・•・S=-•丄•兀R2=11R
R2兀2
比较这与扇形面积公式S扇=需要简单
例二《教学与测试》P101例一
的弧长⑴色
3
直径为20cm的圆中,求下列各圆心所对
⑵165
解:r二10cm⑴:
4兀1045()
10=(cm)
33
兀
⑵:165o=x165(rad)
180
11兀j
=rad
12
1=竺x10=空(cm)
126
例三如图,已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形
的中心角是1弧度,求该扇形的面积。
解:设扇形的半径为r,
弧长为1,则有
2r+1二6二2_=111二2
Ir1
・・・扇形的面积S=1r心2(cm)2
例四计算叫
兀
解:•・・-=450
=・=。=85。57
=tan85。57'=
例五将下列各角化成0到2“的角加上2加(keZ)的形式
⑵一315。
⑴19
3
19解:一兀=+6兀33
兀
—315°=45。—360。=—2兀
4
例六求图中公路弯道处弧AB的长l(精确到lm)
图中长度单位为:m
解:J60°=
/==2x45««47(m)
三、练****P116、7《教学与测试》P102练****6
练****8、9、10
5—14
7、8及思考题
四、作业:课本P11-12
P12-13****题
《教学与测试》P102
第四教时
教材:任意角的三角函数(定义)
目的:要求学生掌握任意角的三角函数的定义,继而理解a角与P=2kK+a(keZ)的同名三角函数值相等的道理。
过程:一、提出课题:讲解定义:
设a是一个任意角,在a的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)则P与原点的距离r=J|x|2+|y2=壯2+y2>0(图示见P13略)
r
记作:sina=—
比值—叫做a的余弦
r
比值2叫做a的正切
x
比值-叫做a的余切
y
记作:
记作
记作:
x
cosa=—
r
y
tana=—
x
cota
3
3
比值二叫做a的正割
x
记作:
r
seca=—
x
比值—叫做a的余割
y
记作:
csca
注意突出几个问题:①角是“任意角”当B=2k兀+a(kwZ)时,B与a的同名三角函数值应该是相等的,即凡是终边相同的角的三角函数值相等。
实际上,如果终边在坐标轴上,上述定义同样适用。(下
面有例子说明)
三角函数是以“比值”为函数值的函数
r>0,而x,y的正负是随象限的变化而不同,故三角函数
的符号应由象限确定(今后将专题研究)
定义域:
y=sinaRy=cota
y=cosaRy=seca
冗
y=tanaa丰k兀+—(keZ)y=csca
2
a丰k兀(keZ)
冗
a丰k兀+—(keZ)
2
a丰k兀(keZ)
二、例一已知a的终边经过点P(2,-3),求a的六个三角函数值
x=2,y=-3,r=22+(—3)2=*13
・•3伍
・・sina=-
13
3
tana—
seca=
<13
~r
cosa=
2•帀
13
2
cota—
J乜
csca=-'—
3
3
例二求下列各角的六个三角函数值
⑴0(2)兀⑶竺(4)1
3
3
22
解:⑴⑵⑶的解答见P16—17
⑷Sa=-时
2
x=0,y=r
3
3
3
兀1
・・sin=1
2
sec不存在
2
cos=0tan不存在
22
兀1
csc=1
2
cot-=0
2
例三《教学与测试》P103例一求函数y=
cosx
tanx
cosx
tanx
的值域
解:定义域:cosxhO・・x的终边不在X轴上
又°・°tanx^O・x的终边不在y轴上
・・当x是第I象限角时,x>0,y>0cosx=|cosx|tanx=|tanx|・・y=2II,x<0,y>0|cosx|二—cosx|tanx|=—tanx・・y=-2
IIIW,x<0,y<0|cosx|=-cosx|tanx|=tanx・y=0x>0,y<0
例四《教学与测试》P103例二
(1)已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值
⑵已知角a的终边经过P(4a,-3a),(az0)求2sina+cosa的值
4
cosa=—
5
・・・2sina+cosa二—-
5
4
cosa=—
5
・・・2sina+cosa二—-
5
4
cosa=-—
5
・・・2sina+cosa二-
5
则sina=|
解:1由定义:r二5sina=-5
则sina=-5
(2)若a>0r二5a若a<0r二-5a
三、小结:定义及有关注意内容
作业:课本P19练****1P20****题3
《教学与测试》P1044、5、6、7
第五教时
教材:三角函数线
目的:要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值,从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
过程:一、复****三角函数的定义,指出:“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”
二、提出课题:从几何的观点来揭示三角函数的定义:
用单位圆中的线段表示三角函数值
三、新授:
介绍(定义)“单位圆”一圆心在原点O,半径等于单位长度的圆
:(课本P14图4-12)
3
此处略
设任意角a的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,