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高中空间点线面之间位置关系知识点总结
第一章空间几何体
(一)空间几何体的结构特征
(1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中,这条定直线称为旋转体的轴。
(2)柱,锥,台,球的结构特征
——有两个面相互平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.
——有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
——以直角三角形的始终角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。
——用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面及底面之间的部分称为棱台.
——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面及截面之间的部分叫做圆台.
——以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.
(二)空间几何体的三视图及直观图
:区分中心投影及平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。
——正视图;侧视图;俯视图;是视察者从三个不同位置视察同一个空间几何体而画出的图形;画三视图的原则:长对齐,高对齐,宽相等
:直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
:在坐标系中画直观图时,已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变,平行于x轴(或在x轴上)的线段保持长度不变,平行于y轴(或在y轴上)的线段长度减半。重点记忆:直观图面积=原图形面积
(三)空间几何体的表面积及体积
1,空间几何体的表面积
①棱柱,棱锥的表面积:各个面面积之和
②圆柱的表面积③圆锥的表面积
④圆台的表面积⑤球的表面积
⑥扇形的面积公式(其中表示弧长,表示半径)
2,空间几何体的体积
①柱体的体积②锥体的体积
③台体的体积④球体的体积
D
C
B
A
α
第二章直线及平面的位置关系
,直线,平面之间的位置关系
1平面含义:平面是无限延展的
2平面的画法及表示
(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图)
(2)平面通常用希腊字母α,β,γ等表示,如平面α,平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC,平面ABCD等。
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3三个公理:
(1)公理1:假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
符号表示为
L
A
·
α
A∈L
B∈L=>Lα
A∈α
B∈α
C
·
B
·
A
·
α
公理1作用:推断直线是否在平面内
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
符号表示为:A,B,C三点不共线=>有且只有一个平面α,
使A∈α,B∈α,C∈α。
公理2作用:确定一个平面的依据。
(3)公理3:假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为:P∈α∩β=>α∩β=L,且P∈L
P
·
α
L
β
公理3作用:判定两个平面是否相交的依据
1空间的两条直线有如下三种关系:
共面直线
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。
2公理4:平行于同一条直线的两条直线相互平行。
符号表示为:设a,b,c是三条直线
=>a∥c
a∥b
c∥b
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面,空间这特性质都适用。
公理4作用:推断空间两条直线平行的依据。
3等角定理:空间中假如两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4留意点:
①a'及b'所成的角的大小只由a,b的相互位置来确定,及O的选择无关,为简便,点O一般取在两直线中的一条上;
②两条异面直线所成的角θ∈(0,);
③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线相互垂直,记作a⊥b;
④两条直线相互垂直,有共面垂直及异面垂直两种情形;
⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
—,平面及平面之间的位置关系
1,直线及平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线及平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行——没有公共点
指出:直线及平面相交或平行的状况统称为直线在平面外,可用aα来表示
aαa∩α=Aa∥α
,平面平行的判定及其性质
1,直线及平面平行的判定定理:平面外一条直线及此平面内的一条直线平行,则该直线及此平面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。
符号表示:
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aα
bβ=>a∥α
a∥b
1,两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线及另一个平面平行,则这两个平面平行。
符号表示:
aβ
bβ
a∩b=Pβ∥α
a∥α
b∥α
2,推断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
—,平面及平面平行的性质
1,定理:一条直线及一个平面平行,则过这条直线的任一平面及此平面的交线及该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
符号表示:
a∥α
aβa∥b
α∩β=b
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
2,定理:假如两个平面同时及第三个平面相交,那么它们的交线平行。
符号表示:
直线及直线的位置关系
α∥β
α∩γ=aa∥b
β∩γ=b
作用:可以由平面及平面平行得出直线及直线平行
,平面垂直的判定及其性质
1,定义
假如直线L及平面α内的随意一条直线都垂直,我们就说直线L及平面α相互垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。如图,直线及平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
L
p
α
2,判定定理:一条直线及一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线及此平面垂直。
留意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线及平面垂直”及“直线及直线垂直”相互转化的数学思想。
1,二面角的概念:表示从空间始终线动身的两个半平面所组成的图形
A
梭lβ
B
α
2,二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β
3,两个平面相互垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
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—,平面及平面垂直的性质
1,定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线及另一个平面垂直。
本章知识结构框图
平面(公理1,公理2,公理3,公理4)
空间直线,平面的位置关系
平面及平面的位置关系
直线及平面的位置关系
第三章直线及方程
一,公式:
,则直线的斜率=。
:
,则=;若两直线,则=-1;
:
:
:
:
:,此时,斜率为,截距为.
(1)若,两直线相交;
(2)若,两直线平行或重合;
(3)若,若两直线垂直。
,则:
二,基本留意点:
,且平行于轴的直线方程是:;
,且平行于轴的直线方程是:;
三,典型****题:
,并且在两轴上的截距相等的直线方程。
解:①截距不为0时,设两轴上的截距都为,则有直线方程为:,
将带入上式可得:,所以直线方程为:,
即:;
②两轴上的截距都为0时,则直线过原点,由两点式可得:
,即:
综上所述:满意条件的直线方程为:或.
(注:做本题时要分截距为0和截距不为0两种状况,切不可直接将方程设为
,因为用该方程时,要求截距不为0。)
,,求满意下列条件的m值:
(1);(2);(3);(4);
解:(1),,
即:解得:
(2),,
即:解得:
(3)(4),
即:解得:
检验:此时,两直线平行,所以,
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此时,两直线重合
综上所示:时两直线平行;时两直线重合.
第四章圆及方程
圆及方程
2,1圆的标准方程:以点为圆心,为半径的圆的标准方程是.
特例:圆心在坐标原点,半径为的圆的方程是:.
2,2点及圆的位置关系:
,圆半径为r:
(1)点在圆上d=r;(2)点在圆外d>r;(3)点在圆内d<r.
.
①在圆内②在圆上
③在圆外
2,3圆的一般方程:.
当时,方程表示一个圆,其中圆心,半径.
当时,方程表示一个点.
当时,方程无图形(称虚圆).
注:(1)方程表示圆的充要条件是:且且.
圆的直径或方程:已知
2,4直线及圆的位置关系:直线及圆的位置关系有三种
(1)若,;
(2);(3)。
还可以利用直线方程及圆的方程联立方程组求解,通过解的个数来推断:
(1)当方程组有2个公共解时(直线及圆有2个交点),直线及圆相交;
(2)当方程组有且只有1个公共解时(直线及圆只有1个交点),直线及圆相切;
(3)当方程组没有公共解时(直线及圆没有交点),直线及圆相离;
即:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ,圆心C到直线的距离为d,则直线及圆的
位置关系满意以下关系:
相切d=rΔ=0(2)相交d<rΔ>0;(3)相离d>rΔ<0。
2,5两圆的位置关系
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,。
(1);(2);
(3);(4);
(5);
外离外切相交内切内含
2,6圆的切线方程:圆的斜率为的切线方程是过圆
上一点的切线方程为:.
一般方程若点(x0,y0)在圆上,则(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.
特殊地,过圆上一点的切线方程为.
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若点(x0,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则,联立求出切线方程.