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一、主要知识点
(一)有序数对:有顺序的两个数a与b组成的数对,记作(a,b);
注意:a、b的先后顺序对位置的影响。
(二)平面直角坐标系
1、历史:法国数学家笛卡儿最早引入坐标系,用代数方法研究几何图形;
2、构成坐标系的各种名称;
3、各种特殊点的坐标特点。
(三)坐标方法的简单应用
1、用坐标表示地理位置;
2、用坐标表示平移。
二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点:
平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同;
平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。
三、各象限的角平分线上的点的坐标特点:
第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同;
第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。
四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点:
关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数
关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数
关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数
五、特殊位置点的特殊坐标:
坐标轴上
点P(x,y)
点A、点B连线平行(垂直)于坐标轴的点
点P(x,y)在各象限
的坐标特点
象限角平分线上
的点
X
轴
Y
轴
原点
平行X轴
(垂直Y轴)
平行Y轴
(垂直X轴)
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
第一、
三象限
第二、四象限
(x,0)
(0,y)
(0,0)
A、(,y)
B、(,y)
A、(x,)
B、(x,)
x>0
y>0
x<0
y>0
x<0
y<0
x>0
y<0
(m,m)
(m,-m)
点p(x,y)到x轴的距离为_______,到y轴的距离为_______。
六、利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下:
建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定x轴、y轴的正方向;
根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;
在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称。
七、用坐标表示平移:见下图
P(x,y)
P(x,y-a)
P(x-a,y)
P(x+a,y)
P(x,y+a)
向上平移a个单位长度
向下平移a个单位长度
向右平移a个单位长度
向左平移a个单位长度
经典例题
知识一、坐标系的理解
例1、平面内点的坐标是()
A一个点B一个图形C一个数D一个有序数对
,一般需要________个数据;
在空间内要确定一个点的位置,一般需要________个数据.
2、在平面直角坐标系内,下列说法错误的是()
A原点O不在任何象限内B原点O的坐标是0
C原点O既在X轴上也在Y轴上D原点O在坐标平面内
知识二、已知坐标系中特殊位置上的点,求点的坐标
例1点P在x轴上对应的实数是-3,则点P的坐标是,若点Q在y轴上对应的实数是,则点Q的坐标是,
例2点P(a-1,2a-9)在x轴负半轴上,则P点坐标是 。
1、点P(m+2,m-1)在y轴上,则点P的坐标是.
2、已知点A(m,-2),点B(3,m-1),且直线AB∥x轴,则m的值为。
3、已知:A(1,2),B(x,y),AB∥x轴,且B到y轴距离为2,则点B的坐标是.
( )
(3)若点(a,2)在第二象限,且在两坐标轴的夹角平分线上,则a=.
(3)已知点P(x2-3,1)在一、三象限夹角平分线上,则x=.
5、过点A(2,-3)且垂直于y轴的直线交y轴于点B,则点B坐标为().
A.(0,2)B.(2,0)C.(0,-3)D.(-3,0)
6、如果直线AB平行于y轴,则点A,B的坐标之间的关系是().
知识点三:点符号特征。
-b<0,且ab<0,那么点(a,b)在()
A、第一象限B、第二象限C、第三象限,D、第四象限.
例2、如果<0,那么点P(x,y)在()
(A)第二象限(B)第四象限(C)第四象限或第二象限(D)第一象限或第三象限
1、点P的坐标是(2,-3),则点P在第象限.
2、点P(x,y)在第四象限,且|x|=3,|y|=2,则P点的坐标是 。
3、若点P(x,y)的坐标满足xy﹥0,则点P在第象限;
若点P(x,y)的坐标满足xy﹤0,且在x轴上方,则点P在第象限.
若点P(a,b)在第三象限,则点P'(-a,-b+1)在第象限;
4、若点P(,)在第二象限,则下列关系正确的是()
.
5、点(,)不可能在()
6、已知点P(,)在第三象限,则的取值范围是()
≤≤.≥5或≤3
7、设点P的坐标(x,y),根据下列条件判定点P在坐标平面内的位置:
(1);(2);(3).
(2)横坐标为负,纵坐标为零的点在()
(A)第一象限(B)第二象限(C)X轴的负半轴(D)Y轴的负半轴
(3)如果a-b<0,且ab<0,那么点(a,b)在()
(A)第一象限,(B)第二象限(C)第三象限,(D)第四象限.
(4)已知点A(m,n)在第四象限,那么点B(n,m)在第象限
(5)若点P(3a-9,1-a)是第三象限的整数点(横、纵坐标都是整数),那么a=
知识四:求一些特殊图形,在平面直角坐标系中的点的坐标。
例1、,则点P的坐标为( )
A(,0)B(-,0)C(0,)D(,0)或(-,0)y
例2、已知三点A(0,4),B(—3,0),C(3,0),
现以A、B、C为顶点画平行四边形,请根据A、B、
C三点的坐标,写出第四个顶点D的坐标。
1、点A(2,3)到x轴的距离为 ;点B
(-4,0)到y轴的距离为 ;点C到x轴的x
距离为1,到y轴的距离为3,且在第三象限,
则C点坐标是 。
2、若点A的坐标是(-3,5),则它到
x轴的距离是,到y轴的距离是.
3、点P到x轴、y轴的距离分别是2、1,则点P的坐标可能为。
4、已知点M到x轴的距离为3,到y轴的距离为2,则M点的坐标为().
A.(3,2)B.(-3,-2)C.(3,-2)D.(2,3),(2,-3),(-2,3),(-2,-3)
5、若点P(,)到轴的距离是,到轴的距离是,则这样的点P有()
6、已知直角三角形ABC的顶点A(2,0),B(2,3).A是直角顶点,斜边长为5,求顶点C的坐标.
7、对于边长为6的正△ABC,建立适当的直角坐标系,并写出各个顶点的坐标.
8、在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(0,0),(0,-5),(-2,-2),以这三点为平行四边形的三个顶点,则第四个顶点不可能在第_______象限.
9、直角坐标系中,一长方形的宽与长分别是6,8,对角线的交点在原点,两组对边分别与坐标轴平行,求它各顶点的坐标.
10、在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(0,0),(0,-5),(-2,-2),以这三点为平行四边形的三个顶点,则第四个顶点不可能在第_______象限.
11、在图5的平面直角坐标系中,请完成下列各题:
(1)写出图中A,B,C,D各点的坐标;
(2)描出E(1,0),F(,3),G(,0),H(,);
(3)顺次连接A,B,C,D各点,再顺次连接E,F,G,H,围成的两个封闭图形分别是什么图形?
图6
12、如上右图,正方形ABCD以(0,0)为中心,边长为4,求各顶点的坐标.
知识点五:对称点的坐标特征。
已知A(-3,5),则该点关于x轴对称的点的坐标为_______;关于y轴对的点的坐标为______;关于原点对称的点的坐标为_______;关于直线x=2对称的点的坐标为_________。
将三角形ABC的各顶点的横坐标都乘以,则所得三角形与三角形ABC的关系( )
1、在第一象限到x轴距离为4,到y轴距离为7的点的坐标是______________;在第四象限到x轴距离为5,到y轴距离为2的点的坐标是________________;
2、点A(-1,-3)。
3、若点A(m,-2),B(1,n)关于原点对称,则m=,n=.
4、已知:点P的坐标是(,),且点P关于轴对称的点的坐标是(,),则;
5、点P(,)关于轴的对称点的坐标是,关于轴的对称点的坐标是,关于原点的对称点的坐标是;
6、若关于原点对称,则;
7、已知,则点(,)在;
8、直角坐标系中,将某一图形的各顶点的横坐标都乘以,纵坐标保持不变,得到的图形与原图形关于________轴对称;将某一图形的各顶点的纵坐标都乘以,横坐标保持不变,得到的图形与原图形关于________轴对称.
9、点A(,)关于轴对称的点的坐标是()
A.(,)B.(,)C.(,)D.(,)
10、点P(,)关于原点的对称点的坐标是()
A.(,)B(,)C(,)D.(,)
11、在直角坐标系中,点P(,)关于轴对称的点P1的坐标是()
A (,) B.(,) C.(,) D.(,)
若∣a-3∣+(b+2)2=0,则点M(a,b)关于y轴的对称点的坐标为_______.
12、若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数,则此点一定在( )
、、四象限夹角的平分线上
知识点六:利用直角坐标系描述实际点的位置。
例1、如图是绍兴市行政区域图,若上虞市区所在地用坐标表示为,诸暨市区所在地用坐标表示为,那么嵊州市区所在地用坐标可表示为_______.
1、课间操时,小华、小军、小刚的位置如下图左,小华对小刚说,如果我的位置用(0,0)表示,小军的位置用(2,1)表示,那么你的位置可以表示成()
A.(5,4)B.(4,5)C.(3,4)D.(4,3)
2、如上右图,小明从点O出发,先向西走40米,再向南走30米到达点M,如果点M的位置用(-40,-30)表示,那么(10,20)表示的位置是()
A、点AB、点BC、点CD、点D
知识点七:平移、旋转的坐标特点。
三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A(2,-1)、B(1,-3)、C(4,-).
图3
把三角形A1B1C1向右平移4个单位,再向下平移3个单位,恰好得到三角形ABC,试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标,并在直角坐标系中描出这些点;在平面直角坐标系中,将点M(1,0)向右平移3个单位,得到点,则点的坐标为________.
1、矩形ABCD在坐标系中的位置如图3所示,若矩形的边长AB为1,AD为2,则点A,B,C,D的坐标依次为________;把矩形向右平移3个单位,得矩形,的坐标为________.
2、小华若将平面直角坐标系中一只猫的图案向右平移了3个单位长度,而猫的形状,大小都不变,则她将图案上的各点坐标________.
3、平面直角坐标系中一条线段的两端点坐标分别为(2,1),(4,1),若将此线段向右平移1个单位长度,则变化后的线段的两个端点的坐标分别为_____;若将此线段的两个端点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,则所得的线段与原线段相比_______;若将此线段的两个端点的横坐标不变,纵坐标分别加上1,则所得的线段与原线段相比_______;若横坐标不变,纵坐标分别减去3,则所得的线段与原线段相比_________。
4、线段CD是由线段AB平移得到的,点A(-1,3)的对应点C(2,5),则B(-3,-2)的对应点D的坐标为。
5、在平面直角坐标系中,点P(2,1)向左平移3个单位得到的的点在( )
6、将三角形ABC的各顶点的横坐标不变,纵坐标分别减去3,连结所得三点组成的三角形是由三角形ABC( )
2
4
1
3
3
1
O
x
y
A
B
P
4
7、如图,已知直角坐标系中的点A,点B的坐标分别为A(2,4),B(4,0),
且P为AB的中点,若将线段AB向右平移3个单位后,与点P对应的点为Q,
则点Q的坐标为()
A.(3,2) B.(6,2)C.(6,4)D.(3,5)