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知识点一:二次根式的概念
形如()的式子叫做二次根式。
注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。
,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:、、、(x>0)、、、-、、(x≥0,y≥0).
分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.
知识点二:取值范围
1、二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。
2、二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。
,在实数范围内有意义?
,+在实数范围内有意义?
知识点三:二次根式()的非负性
()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。
注:因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。
例4.(1)已知y=++5,求的值.(2)若+=0,求a2004+b2004的值
知识点四:二次根式()的性质
()
文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,则,如:,.
1.()22.(3)23.()24.()2
:
(1)x2-3(2)x4-4(3)2x2-3
知识点五:二次根式的性质
文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注:
1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,
即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即;
2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;
3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。
(1)(2)(3)(4)
:当a≥0时,=_____;当a<0时,=_______,并根据这一性质回答下列问题.
(1)若=a,则a可以是什么数?(2)若=-a,则a是什么数?(3)>a,则a是什么数?
>2,化简-.
知识点六:与的异同点
1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的, ,而
2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而.
知识点七:二次根式的乘除
1、乘法·=(a≥0,b≥0)反过来:=·(a≥0,b≥0)
2、除法=(a≥0,b>0)反过来,=(a≥0,b>0)
(思考:b的取值与a相同吗?为什么?不相同,因为b在分母,所以不能为0)
(1)4×(2)×(3)×(4)×
(1)(2)(3)(4)
,不正确的请予以改正:
(1)
(2)×=4××=4×=4=8
:(1)(2)(3)(4)
:
(1)(2)(3)(4)
,且x为偶数,求(1+x)的值.
3、最简二次根式应满足的条件:
(1)被开方数不含分母或分母中不含二次根式;
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式
(熟记20以内数的平方;因数或因式间是乘积的关系,当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式,然后再观察各个因式的指数是否是2(或2的倍数),若是则说明含有能开方的因式,则不满足条件,就不是最简二次根式)
(1);(2);(3)
4、化简最简二次根式的方法:
(1)把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式,即分解因式;
(2)化去根号内的分母(或分母中的根号),即分母有理化;
(3)将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来.(此步需要特别注意的是:开到根号外的时候要带绝对值,注意符号问题)
:一般常见的互为有理化因式有如下几类:
①与;             ②与;
③与;      ④与.
   说明:利用有理化因式的特点可以将分母有理化.
13、同类二次根式:被开方数相同的(最简)二次根式叫同类二次根式。
判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。如与
知识点八:二次根式的加减
1、二次根式的加减法:先把各个二次根式化为最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)进行合并。(合并方法为:将系数相加减,二次根式部分不变),不能合并的直接抄下来。
(1)+(2)+
(1)3-9+3(2)(+)+(-)
2、二次根式的混合运算:先计算括号内,再乘方(开方),再乘除,再加减
3、二次根式的比较:(1)若,则有;(2)若,则有.
  (3)将两个根式都平方,比较平方后的大小,对应平方前的大小