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第五章相交线与平行线
一、相交线两条直线相交,形成4个角。
1、两条直线相交所成的四个角中,相邻的两个角叫做邻补角,特点是两个角共用一条边,另一条边互为反向延长线,性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角,特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。
①邻补角:两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角,互为邻补角。如:∠1、∠2。
②对顶角:两个角有一个公共顶点,并且一个角的两条边,分别是另一个角的两条边的反向延长线,具有这种关系的两个角,互为对顶角。如:∠1、∠3。
③对顶角相等。
二、垂线
:如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直。
:垂直是相交的一种特殊情形,两条直线垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
:两条垂线的交点叫垂足。
:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
6、垂直的表示方法:垂直用符号“⊥”来表示,若“直线AB垂直于直线CD,垂足为O”,则记为AB⊥CD。
7、垂线的性质:
性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
性质3:如图2所示,当a⊥b时,====90°。反之,。。。。。
三、同位角、内错角、同旁内角
两条直线被第三条直线所截形成8个角。(3线8角)
:(在两条直线的同一旁,第三条直线的同一侧)在两条直线的上方,又在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同位角。如:∠1和∠5。
:(在两条直线内部,位于第三条直线两侧)在两条直线之间,又在直线EF的两侧,具有这种位置关系的两个角叫内错角。
如:∠3和∠5。
:(在两条直线内部,位于第三条直线同侧)在两条直线之间,又在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如:∠3和∠6。
(一)平行线
:两条直线不相交。互相平行的两条直线,互为平行线。a∥b(在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。) 
:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
:平行于同一直线的两条直线互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c
(二)平行线的判定:
,如果同位角相等,那么这两条直线平行。(同位角相等,两直线平行)
,如果内错角相等,那么这两条直线平行。(内错角相等,两直线平行)
,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。(同旁内角互补,两直线平行)
4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果a∥b,a∥c,则 b ∥ c 。
推论:在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行。
(一)平行线的性质
,同位角相等。(两直线平行,同位角相等)
,内错角相等。(两直线平行,内错角相等)
,同旁内角互补。(两直线平行,同旁内角相等)
(二)命题、定理、证明
:判断一件事情的语句,叫做命题。 
:每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果„„,那么„„”的形式。具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论。
:正确的命题,题设成立,结论一定成立。 
:错误的命题,题设成立,不能保证结论一定成立。
:经过推理证实得到的真命题。(定理可以做为继续推理的依据)
:推理的过程叫做证明。
:平移是指在平面内,将一个图形沿着某个方向移动一定的距离,这样的图形运动叫做平移变换(简称平移),平移不改变物体的形状和大小。
 
①把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。 
②新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点。连接各组对应点的线段平行且相等。①对应点的连线平行且相等;②对应线段相等;③对应角相等。
第六章实数
1、平方根
(1)平方根的定义:如果一个数x的平方等于a,:如果,那么x叫做a的平方根.
(2)开平方的定义:求一个数的平方根的运算,。
(3)平方与开平方互为逆运算:3的平方等于9,9的平方根是3
(4)一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果;
一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算;
0的平方根是0.
(5)符号:正数a的正的平方根可用表示,也是a的算术平方根;
正数a的负的平方根可用-表示.
(6)<—>
a是x的平方x的平方是a
x是a的平方根a的平方根是x
2、算术平方根
(1)算术平方根的定义:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即,,读作“根号a”,a叫做被开方数.
规定:0的算术平方根是0.
也就是,在等式(x≥0)中,规定。
(2)的结果有两种情况:当a是完全平方数时,是一个有限数;
当a不是一个完全平方数时,是一个无限不循环小数。
(3)当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大;
当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
(4)夹值法及估计一个(无理)数的大小
(5)(x≥0)<—>
a是x的平方x的平方是a
x是a的算术平方根a的算术平方根是x
(6)正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
(0)
;注意的双重非负性:
-(<0)0
(7)平方根和算术平方根两者既有区别又有联系:
区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个;
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
(1)立方根的定义:如果一个数x的立方等于,这个数叫做的立方根(也叫做三次方根),即如果,那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算,叫做开立方。
(2)一个数的立方根,记作,读作:“三次根号”,
其中叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方。
(3)一个正数有一个正的立方根;
0有一个立方根,是它本身;
一个负数有一个负的立方根;
任何数都有唯一的立方根。
(4)利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即。
(5)<—>
a是x的立方x的立方是a
x是a的立方根a的立方根是x
(6),这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
一、实数的概念及分类
无理数:像前面的很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小数又叫无理数。
实数:有理数和无理数统称实数。
1、实数的分类
正有理数
有理数零有限小数或无限循环小数
实数负有理数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
正实数
实数0
负实数
整数包括正整数、零、负整数。
零和正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如等;
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如+8等;
(3)有特定结构的数,…等;
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。
数a的相反数是—a,这里a表示任意一个实数。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是0。
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
:
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,
数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数,
实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数。
三、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做的形式,其中,n是整数,这种记数法叫做科学记数法。
四、实数大小的比较
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:设a、b是实数,
(3)求商比较法:设a、b是两正实数,
(4)绝对值比较法:设a、b是两负实数,则。
(5)平方法:设a、b是两负实数,则。
五、实数的运算
1、加法交换律
2、加法结合律
3、乘法交换律
4、乘法结合律
5、乘法对加法的分配律
6、实数混合运算时,对于运算顺序有什么规定?
实数混合运算时,将运算分为三级,加减为一级运算,乘除为二能为运算,乘方为三级运算。同级运算时,从左到右依次进行;不是同级的混合运算,先算乘方,再算乘除,而后才算加减;运算中如有括号时,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则是什么?
两有理数除法运算法则可用两种方式来表述:第一,除以一个不等于零的数,等于乘以这个数的倒数;第二,两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数,商都是零。
8、什么叫有理数的乘方?幂?底数?指数?
相同因数相乘积的运算叫乘方,乘方的结果叫幂,相同因数的个数叫指数,这个因数叫底数。记作:an
9、有理数乘方运算的法则是什么?
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么?
去(加)括号时如果括号外的因数是正数,去(加)括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同;括号外的因数是负数去(加)括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
第七章平面直角坐标系
(一)有序数对
:用两个数来表示一个确定的位置,其中两个数各自表示不同的意义,我们把这种有顺序的两个数组成的数对,叫做有序数对,记作(a,b) 
:数轴(或平面)上的点可以用一个数(或数对)来表示,这个数(或数对)叫做这个点的坐标。 
(二)平面直角坐标系
:在平面内画两条互相垂直,并且有公共原点的数轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系,简称直角坐标系。
:水平的数轴叫X轴或横轴。向右方向为正方向。
:竖直的数轴叫Y轴或纵轴。向上方向为正方向。
:两个数轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。
对应关系:平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。
坐标:对于平面内任一点P,过P分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别在x轴,y轴上,对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
(三)象限
:X轴和Y轴把坐标平面分成四个部分,也叫四个象限。右上面的叫做第一象限,其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界,横轴、纵轴上的点及原点不属于任何象限。一般,在x轴和y轴取相同的单位长度。
: 
1、特殊位置的点的坐标的特点:
(1)x轴上的点的纵坐标为零;y轴上的点的横坐标为零。
(2)第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
(3)在任意的两点中,如果两点的横坐标相同,则两点的连线平行于纵轴;
如果两点的纵坐标相同,则两点的连线平行于横轴。 
2、点到轴及原点的距离:
点到x轴的距离为|y|; 
点到y轴的距离为|x|;
点到原点的距离为x的平方加y的平方再开根号; 
3、三大规律
(1)平移规律:
点的平移规律左右平移→纵坐标不变,横坐标左减右加;
上下平移→横坐标不变,纵坐标上加下减。
图形的平移规律找特殊点
(2)对称规律
关于x轴对称→横坐标不变,纵坐标互为相反数;
关于y轴对称→横坐标互为相反数,纵坐标不变;
关于原点对称→横纵坐标都互为相反数。
(3)位置规律
各象限点的坐标符号:(注意:坐标轴上的点不属于任何一个象限)
假设在平面直角坐标系上有一点P(a,b)
,有a>0,b>0(横、纵坐标都大于0)
,有a<0,b>0(横坐标小于0,纵坐标大于0)
,有a<0,b<0(横、纵坐标都小于0)
,有a>0,b<0(横坐标大于0,纵坐标小于0)
,有b=0(横轴上点的纵坐标为0)
,有a=0(纵轴上点的横坐标为0)
如果点P位于原点,有a=b=0(原点上点的横、纵坐标都为0)
第二象限第一象限
(—,+)(+,+)
第三象限第四象限
(—,—)(+,—)
(一)用坐标表示地理位置的过程:
,选择一个合适的参照点为原点,确定X轴和Y轴的正方向。
,在坐标轴上标出单位长度。
,写出各点的坐标和各个地点的名称。
(二)用坐标表示平移
在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就把原图形向右(左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就把原图形向上(下)平移a个单位长度。
第八章二元一次方程组
:含有两个未知数的方程并且所含未知项的最高次数是1,这样的整式方程叫做二元一次方程。 
:有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是一次,那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程的解:一般地,使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
——解二元一次方程组
二元一次方程组有两种解法:一种是代入消元法,一种是加减消元法.
:用代入法解二元一次方程组的一般步骤:观察方程组中,是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数,如果有,则将它直接代入另一个方程中;如果没有,则将其中一个方程变形,用含一个未知数的式子表示另一个未知数;再将表示出的未知数代入另一个方程中,从而消去一个未知数,求出另一个未知数的值,将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程,求出另外一个未知数的值。
:两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程。
方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数,就用适当的数去乘方程的两边,使同一个未知数的系数相等或互为相反数;(2)把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数;(3)解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;(4)将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程,求出另外一个未知数的值,从而得到原方程组的解。
3、三元一次方程组的解法
三元一次方程组:方程组含有三个未知数,每个方程中含有未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程组,像这样的方程组叫做三元一次方程组。
解三元一次方程组的一般步骤:①观察方程组中未知数的系数特点,确定先消去哪个未知数;②利用代入法或加减法,把方程组中的一个方程,与另外两个方程分别组成两组,消去同一个未知数,得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组;
③解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中,求出第三个未知数的值,从而得到原三元一次方程组的解。
实际应用:审题→设未知数→列方程组→解方程组→检验→作答。
关键:找等量关系
常见的类型有:分配问题、追及问题、顺流逆流、药物配制、行程问题
顺流逆流公式:
第九章不等式与不等式组
一、不等式及其解集
:用不等号表示不等关系的式子叫不等式,不等号主要包括:>、<、≥、≤、≠。
:使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解。
:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
二、不等式的性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).  
性质2:不等式的两边同加(减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性). 
性质3: 不等式的两边同乘(除以)同一个正数,不等号的方向不变。不等式的两边同乘(除以)同一个负数,不等号的方向改变。
如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,ac<bc.(不等式的乘法法则)
性质4:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. (不等式的加法法则) 
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. (可乘性) 
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,<n<1时也成立. (乘方法则) 
:含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式。
2. 不等式的解法:
步骤::①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1。这与解一元一次方程类似,在解时要根据一元一次不等式的具体情况灵活选择步骤。
注意:去分母与系数化为一要特别小心,因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数,要考虑不等号的方向是否发生改变的问题。
:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。
:几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。
:先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式的解集。
解一元一次不等式组的一般步骤:①求出这个不等式组中各个不等式的解集;②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,得到这个不等式组的解集。如果这些不等式的解集的没有公共部分,则这个不等式组无解(此时也称这个不等式组的解集为空集)。求出各个不等式的解集后,确定不等式组的解的口诀:大大取大,小小取小,大小小大取中间,大大小小无处找。
以两条不等式组成的不等式组为例,
①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左,就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集,此乃“同小取小”
②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右,就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集,此乃“同大取大” 
③若两个未知数的解集在数轴上相交,就取它们之间的值为不等式组的解集。若x表示不等式的解集,此时一般表示为a<x<b,或a≤x≤b。此乃“相交取中
④若两个未知数的解集在数轴上向背,那么不等式组的解集就是空集,不等式组无解。此乃“向背取空” 
不等式组的解集的确定方法(a>b):
不等式组
在数轴上表示的解集
解集
口诀
x>a
x>b
a
b
x>a
同大取大;
x<b
x<a
a
b
x<b
同小取小;
x>b
x<a
a
b
b<x<a
相交取中;
x>a
x<b
a
b
空集
向背取空。
第十章数据的收集、整理与描述
全面调查:考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
抽样调查:调查部分数据,根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。
总体:要考察的全体对象称为总体。
个体:组成总体的每一个考察对象称为个体。
样本:被抽取的所有个体组成一个样本。
样本容量:样本中个体的数目称为样本容量。
频数:一般地,我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。
频率:频数与数据总数的比为频率。