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一、知识要点
1、平方根:
⑴、定义:如果x2=a,则x叫做a的平方根,记作“”(a称为被开方数)。
⑵、性质:正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
⑶、算术平方根:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作“”。
2、立方根:
⑴、定义:如果x3=a,则x叫做a的立方根,记作“”(a称为被开方数)。
⑵、性质:正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。
3、开平方(开立方):求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。
二、规律总结:
1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。
3、本身为非负数,即≥0;有意义的条件是a≥0。
4、公式:⑴()2=a(a≥0);⑵=(a取任何数)。
5、非负数的重要性质:若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0(此性质应用很广,务必掌握)。
例1求下列各数的平方根和算术平方根
(1);(2);(3);⑷
例2求下列各式的值
(1);(2);(3);(4).
(5),(6),(7)(8)
例3、求下列各数的立方根:
⑴343;⑵;⑶
二、巧用被开方数的非负性求值.
大家知道,当a≥0时,a的平方根是±,即a是非负数.
例4、若求yx的立方根.
练****已知求的值.
三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.
我们知道,当a≥0时,a的平方根是±,而
例5、已知:一个正数的平方根是2a-1与2-a,求a的平方的相反数的立方根.
练****若和是数的平方根,求的值.
四、巧解方程
例6、解方程(1)(x+1)2=36(2)27(x+1)3=64
五、巧用算术平方根的最小值求值.
我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.
例4、已知:y=,当a、b取不同的值时,,求ba的非算术平方根.
练****已知,求xyz的值。
②已知互为相反数,求a,b的值。
(3)的整数部分为a,小数部分为b,则a=____,b=____
(4)实数包括____________或__________________;
(5)下列各数:,,,0,,,,,.其中无理数有()个
④和-。