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二、知识要点梳理
知识点一:有序数对
比如教室中座位的位置,常用“几排几列”来表示,而排数和列数的先后顺序影响座位的位置,因此用有顺序的两个数a与b组成有序数时,记作(a,b),表示一个物体的位置。我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对,记作:(a,b).
要点诠释:
对“有序”要准确理解,即两个数的位置不能随意交换,(a,b)与(b,a)顺序不同,含义就不同,表示不同位置。
知识点二:平面直角坐标系以及坐标的概念
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴****惯上取向右为正方向;竖直的数轴称为y轴或纵轴,取向上方向为正方向,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1)。
注:我们在画直角坐标系时,要注意两坐标轴是互相垂直的,且有公共原点,通常取向右与向上的方向分别为两坐标轴的正方向。平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的。
点的坐标是在平面直角坐标系中确定点的位置的主要表示方法,是今后研究函数的基础。在平面直角坐标系中,要想表示一个点的具体位置,就要用它的坐标来表示,要想写出一个点的坐标,应过这个点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足M在x轴上的坐标是a,垂足N在y轴上的坐标是b,我们说点A的横坐标是a,纵坐标是b,那么有序数对(a,b):A(a,b).用(a,b)来表示,需要注意的是必须把横坐标写在纵坐标前面,所以这是一对有序数。
注:①写点的坐标时,横坐标写在前面,纵坐标写在后面。横、纵坐标的位置不能颠倒。
②由点的坐标的意义可知:点P(a,b)中,|a|表示点到y轴的距离;|b|表示点到x轴的距离。
知识点三:点坐标的特征
:
两条坐标轴将平面分成4个区域称为象限,按逆时针顺序分别叫做第一、二、三、四象限,(+,+),(-,+),(-,-),(+,-).
:
x轴上的点的纵坐标为0,可表示为(a,0);
y轴上的点的横坐标为0,可表示为(0,b).
注意:x轴,y轴上的点不在任何一个象限内,对于坐标平面内任意一个点,不在这四个象限内,就在坐标轴上。坐标轴上的点不属于任何一个象限,这一点要特别注意。
:
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等,可表示为(a,a);
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数,可表示为(a,-a).
注:若点P(a,b)在第一、三象限的角平分线上,则a=b;
若点P(a,b)在第二、四象限的角平分线上,则a=-b。
:
P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b);
P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b);
P(a,b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b).
:
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同;
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同。
:
象限
横纵坐标符号(a,b)
图象
第一象限
(+,+)a>0,b>0
第二象限
(-,+)a<0,b>0
第三象限
(-,-)a<0,b<0
第四象限
(+,-)a>0,b<0
x轴上
正半轴(+,0)
负半轴(-,0)
y轴上
正半轴(0,+)
负半轴(0,-)
原点
(0,0)
五、特殊位置点的特殊坐标:
坐标轴上
点P(x,y)
连线平行于
坐标轴的点
点P(x,y)在各象限
的坐标特点
象限角平分线上
的点
X轴
Y轴
原点
平行X轴
平行Y轴
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
第一、
三象限
第二、四象限
(x,0)
(0,y)
(0,0)
纵坐标相同横坐标不同
横坐标相同纵坐标不同
x>0
y>0
x<0
y>0
x<0
y<0
x>0
y<0
(m,m)
(m,-m)
知识点四:简单应用
根据已知条件,建立适当的平面直角坐标系,是确定点的位置的必经过程,一般地只有建立了适当的直角坐标系,点的位置才能得以确定,才能使数与形有机地结合在一起。利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况,也就是绘制平面图的过程:
(1)建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定x轴,y轴的正方向;
(2)根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;
(3)在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称.
要点诠释:
在建立平面直角坐标系时,我们一般选择那些使点的位置比较容易确定的方法,例如借助于图形的某边所在直线为坐标轴等。在具体问题中要注意分析题目,灵活运用。而建立平面直角坐标系的方法是不唯一的。
(1)点的平移:
在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右或向左平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)或(x-a,y);将点(x,y)向上或向下平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)或(x,y-b)。
由上可归纳为:
①在坐标系内,左右平移的点的坐标规律:右加左减;
②在坐标系内,上下平移的点的坐标规律:上加下减;
③在坐标系内,平移的点的坐标规律:沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变.
(2)图形的平移:
在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加上或减去一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右或向左平移a个单位长度;如果把各个点的纵坐标都加上或减去一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上或向下平移了a个单位长度。
注:平移是图形的整体位置的移动,图形上各点都发生相同性质的变化,因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决。注意平移只改变图形的位置,图形的大小和形状不发生变化.
三、规律方法指导
学****本章首先要理解好有序数对的概念,也就是在这里的数不但表示大小,,平面直角坐标系的引入,它是帮助我们研究事物的位置关系的一个工具,那么,对于点坐标的特征要熟练掌握,,尤其是平移图形,这里学生一定要画平面直角坐标系,体会数形结合在数学中的作用,这是利用左右脑学****的最好方法.