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:一般的,在某个变化过程中有两个变量x和y,对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应,我们说x叫做自变量,y叫做因变量,y叫做x的函数。
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(1)能够使函数有意义的自变量的取值全体。
(2)确定函数自变量的取值范围要注意以下两点:一是使自变量所在的代数式有意义;二是使函数在实际问题中有实际意义。
(3)不同函数关系式自变量取值范围的确定:
①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。
②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。
③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。
:当自变量取某一数值时对应的函数值。这里有三种类型的问题:
(1)当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。
(2)当已知函数值求自变量的值就是解方程。
(3)当给定函数值的一个取值范围,欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。
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(1)点p(x,y)在第一象限→x>0,y>0.
(2)点p(x,y)在第二象限→x<0,y>0.
(3)点p(x,y)在第三象限→x<0,y<0
(4)点p(x,y)在第四象限→x>0,y<0.
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(1)点p(x,y)在x轴上→x为任意实数,y=0
(2)点p(x,y)在y轴上→x=0,y为任意实数
,y轴,原点对称的点的坐标的特征:
(1)点p(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y).
(2)点p(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).
(3)点p(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)
:
(1)点p(x,y)在第一、三象限夹角平分在线→x=y.
(2)点p(x,y)在第二,四象限夹角平分在线→x+y=0
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(1)位于平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同。
(2)位于平行于y轴的直线上的所有点的横坐标相同。
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(1)点p(x,y)到轴的距离为|y︱.
(2)点p(x,y)到y轴的距离为∣x∣.
(3)点p(x,y)到原点的距离为
(4)同在x轴上的两点A(x1,0)与B(x2,0)之间的距离为AB=|x1-x2|
(5)同在y轴上的两点C(0,y1)与D(0,y2)之间的距离为CD=|y1-y2|
函数图像上的点与其解析式的关系
﹙x,y﹚中的x、y满足函数关系式,满足函数关系式的一对对应值﹙x,y﹚都在函数的图像上。
﹙x,y﹚是否在函数图像上的方法,将这个点的坐标﹙x,y﹚代入函数关系式,如果满足函数关系式,那么这个点就在函数的图像上,如果不满足函数关系式,那么,这个点就不在函数的图像上。
(一)一次函数的定义
:含有自变量的式子为一次整式,即形如式子y=kx+b(其中k和b为常数,k≠0)叫做一次函数。
正比例函数:在一次函数y=kx+b中如果b=0即变为y=kx(其中k≠0),这样的函数叫做正比例函数。
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(1)由一次函数和正比例函数的定义可知;
函数是一次函数→解析式为y=kx+b的形式。
函数是正比例函数→解析式为y=kx的形式。
(2)一次函数解析式y=kx+b的结构特征:
k≠0②x的次数是1③常数b为任意实数
(3)正比例函数解析式y=kx的结构特征
k≠0②x的次数是1③常数b=0
:在y=kx+b中若k=0则y=b﹙b为常数﹚这样的函数叫做常数函数,它不是一次函数。
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正比例函数是一次函数的特例,一次函数包含正比例函数。
一次函数y=kx+b,当b=0时为正比例函数
一次函数y=kx+b,当b≠0时一般的一次函数
(二)一次函数的图像
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一次函数y=kx+b的图像是一条直线,通常称为直线y=kx+b
正比例函数y=kx的图像也是一条直线,称为直线y=kx
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一次函数y=kx+b的图像经过点﹙0,b﹚的直线,正比例函数y=kx+b的图像是经过原点﹙0,0﹚的直线
注意:点﹙0,b﹚是直线y=kx+b与y轴的交点。
当b>0时,此时交点在y轴的正半轴上,
当b<0时,此时交点在y轴的负半轴上,
当b=0时,此时交点在原点,这时的一次函数就是正比例函数。
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根据两点能画一条直线并且只能画一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图像时,只要先描出两点,在连成直线即可。
那么,先描出哪两点比较好呢?
选两点应以计算和描点简单为原则,一般来说,当b≠0时,一般的一次函数y=kx+b的图像,应选取它与两个坐标轴的交点﹙0,b﹚与﹙-,0﹚;当b=0时,画正比例函数y=kx的图像,通常取﹙0,0﹚与﹙1,k﹚两点,个别情况下可以做些变通,例如画函数y=x的图像,可以取﹙0,0﹚与﹙1,﹚两点,也可以取﹙0,0﹚与﹙3,2﹚两点。
=kx+b与坐标轴的交点
(1)令x=0,则y=b所以直线y=kx+b与y轴的交点坐标为﹙0,b﹚
(2)令y=0,则kx+b=0所以x=-
所以直线y=kx+b与x轴的交点坐标为﹙-,0﹚注意:此时直线y=kx+b与x轴,y轴围成的三角形面积S=×∣-∣×∣b∣
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(1)两直线的解析式中当k相同时,其位置关系是平行,其中一条直线可以看作是另一条平移得到的,平移规律是“左减右加,上加下减”
(2)两直线的解析式中当b相同时,其位置关系是相交,交点坐标为﹙0,b﹚.
(三)一次函数的性质
(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大,直线y=kx从左到右上升。
(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小,直线y=kx从左到右下降。
=kx+b的性质
(1)当k>0时,直线y=kx+b从左到右上升,此时y随x的增大而增大。
(2)当k<0时,直线y=kx+b从左到右下降,此时y随x的增大而减小。
(3)当b>0时,直线y=kx+b与y轴正半轴相交。
(4)当b<0时,直线y=kx+b与y轴负半轴相交。
=kx+b的位置与k、b的符号之间的关系
直线y=kx+b的位置是由k与b的符号决定的,其中k决定直线从左到右呈上升趋势还是下降趋势,b决定直线与y轴交点的位置是在y轴的正半轴,还是负半轴,还是原点。k和b综合起来决定直线y=kx+b在直角坐标系中的位置共有六种情况:
①当k>0,b>0时,直线经过第一、二、三象限,不经过第四象限;
②当k>0,b<0时,直线经过第一、三、四象限,不经过第二象限;
③当k<0,b>0时,直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限;
④当k<0,b<0时,直线经过第二、三、四象限,不经过第一象限;
⑤当k>0,b=0时,直线经过第一、三象限;
⑥当k<0,b=0时,直线经过第二、四象限。
(四)正比例函数与一次函数解析式的确定
=kx﹙k≠0﹚中的常数k;确定一个一次函数需要确定一次函数解析式一般形式y=kx+b﹙k≠0﹚中的常数k和b,解这类问题的一般方法是待定系数法。
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先设出待求函数关系式﹙其中含有未知的系数﹚,再根据已知条件列出方程或方程组,求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法。其中的未知系数也称待定系数,如正比例函数y=kx中的k,一次函数y=kx+b中的k和b都是待确定的系数。
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(1)设出含有待定系数的解析式;
(2)把已知条件﹙自变量与函数的对应值﹚代入解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;
(3)解方程或方程组,求出待定系数;
(4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式。
注意:通常正比例函数解析式设y=kx,只有一个待定系数k,一般只需一对x与y的对应值即可;一次函数解析式设y=kx+b,其中有两个待定系数k和b,因而需要两对x与y的对应值,才能求出k和b的值。
(一)反比例函数定义
,函数y=﹙k是常数,k≠0﹚叫做反比例函数,反比例函数的解析式也可以写成y=kx-1的形式,其中k叫做比例系数。
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(1)等号左边是函数y,右边是一个分式,分子是不为零的常数k,分母中含有自变量x,且x的指数是1,若写成y=kx-1的形式,则x的指数是-1。
(2)比例系数“k≠0”是反比例函数定义的重要组成部分。
(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数。
(二)反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限,它们关于原点成中心对称。由于反比例函数中自变量x≠0,函数y≠0,所以它的图像与x轴和y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交。
(三)反比例函数的性质
>0时,图像在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左到右下降,也就是在每个象限内y随x的增大而减小。
<0时,图像在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左到右上升,也就是在每个象限内y随x的增大而增大。
(四)反比例函数解析式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法,由于反比例函数y=中只有一个待定系数,因此只需要一对x与y的对应值或图像上一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。
(五)“反比例关系”与“反比例函数”的区别与联系
反比例关系是小学学过的概念:如果xy=k﹙k是常数k≠0﹚,那么x与y这两个量成反比例关系,这里x与y既可以代表单独的一个字母也可以代表多项式或单项式,例如y+3与x成反比例则有y+3=,y与x²成反比例,则y=,成反比例关系不一定是反比例函数,但是反比例函数y=中的两个变量必定成反比例关系。
(六)反比例函数y=﹙k≠0﹚中的比例系数k的几何意义
,过双曲线上一点作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得矩形PMON面积为|k|。
,则S△POM=S矩形=|k|。
在同一直角坐标系中的两个函数图像,如果其中一个函数的图像在另一个函数图像的上方,则该函数值就比另一个函数值大,若在下方,则该函数值就比另一个函数值小,而其交点的横坐标就是分界点。
如果两个一次函数的图像相交,则交点坐标必定同时满足两个函数解析式,故交点坐标是有两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。
、不等式的关系
(1)一次函数y=kx+b的图像与x轴的交点的纵坐标等于0,反映在函数解析式就是函数值等于0,则其横坐标也就是自变量的值为方程kx+b=0的解。
(2)一次函数y=kx+b在x轴上方的图像,任意一点的纵坐标都大于0,反映在函数解析式就是函数值y>0,则对应的横坐标,也就是自变量的值即为不等式kx+b>0的解集。
(3)一次函数y=kx+b在x轴下方的图像,任意一点的纵坐标都小于0,反映在函数解析式就是函数值y<0,则对应的横坐标,也就是自变量的值即为不等式kx+b<0的解集。