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一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示(正交基底,唯一的有序实数组,坐标)
二、空间向量的运算法则(加减数乘,平行的判定,一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。)
三、空间向量直角坐标的数量积(模长公式,距离公式,夹角)
四、直线的方向向量及平面的法向量
(1)直接法:找一条与平面垂直的直线,求该直线的方向向量。
(2)待定系数法:建立空间直接坐标系,在平面内找两个不共线的向量。
五、判定定理和性质(括号内代表符号语言的个数)
1、线面平行
判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。(3)
性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。(3)
2、面面平行
判定1:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。(5)
判定2:如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行。(2)
判定3:平行于同一个平面的两个平面平行。(2)
性质1:如果两个平面平行,那么在一个平面内所有直线都平行于另一个平面。(2)
性质2:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行。(3)
性质3:如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线,那么另一个平面也垂直于这条直线。(2)
3、线面垂直
判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。(5)
性质1:如果一条直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线。(2)
性质2:垂直于同一个平面的两条直线平行。(2)
性质3:两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面(2)
4、面面垂直
判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。(2)
性质1:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。(4)
六、计算角与距离
1、求两异面直线所成的角:已知两异面直线a,b,,则异面直线所成的角θ为:
2、平面的法向量的求法:设n=(x,y,z),利用n与平面内的两个向量a,b垂直,其数量积为零,列出两个三元一次方程,联立后取其一组解。
3、线面角的求法:设是平面α的一个法向量,是平面α的斜线l的一个方向向量,则直线l与平面α所成角为
4、二面角的求法:(1)AB,CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小为
(2)设n1,n2分别是二面角α—l—β的两个平面α,β的法向量,则,就是二面角的平面角或其补角。
5、异面直线间距离的求法:l1,l2是两条异面直线,n是l1,l2的公垂线段AB的方向向量,又C、D分别是l1,l2上的任意两点,则
6、点面距离的求法:设n是平面α的法向量,AB是平面α的一条斜线,则点B到平面α的距离为
7、线面距、面面距均可转化为点面距离。
注意:异面直线所成角范围:(0,]
直线和平面所成角范围[0,]
二面角范围:[0,]